Дискретная случайная величина х имеет следующий закон распределения

Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретная случайная величина — это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1. Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Пример 2. Пусть случайная величина $X$ — число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin<|c|c|>
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Замечание. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

  • $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
  • Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
  • Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  • Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  • Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
  • Пример 3. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

    Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

    Пример 4. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

    Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

    Пример 5. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

    Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

    3. Дисперсия дискретной случайной величины.

    Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

    Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

    В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_—<\left(M\left(X\right)\right)>^2$.

    Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

    1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
    2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
    3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
    4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
    5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

    Пример 6. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

    Пример 7. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

    Пример 8. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

    4. Функция распределения дискретной случайной величины.

    Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.

    Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

    График функции распределения $F\left(x\right)$:

    Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

    Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) Для сравнения — непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

    Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σpi = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (xi; pi)

    Функция распределения случайной величины — это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ 2 p1 + (x2 — M(X)) 2 p2 + . + (xn— M(X)) 2 pn = x 2 1p1 + x 2 2p2 + . + x 2 npn — [M(X)] 2

    Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С 2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± . ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + . + D(Хn)

    Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

    Мода дискретной случайной величины Mo(X) — это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода — это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

    Коэффициент вариации случайной величины — это относительная мера вариации. V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

    Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) — величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле: As(X) = [(x1-M(X)) 3 p1 + (x2-M(X)) 3 p2 + . + (xn-M(X)) 3 pn]/σ 3 Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

    Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) — величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: Ex(X) = [(x1-M(X)) 4 p1 + (x2-M(X)) 4 p2 + . + (xn-M(X)) 4 pn]/σ 4 — 3

    Составить самим закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти: – её числовые характеристики — функцию распределения – вероятность того, что X примет значение меньше M(X); – вероятность того, что X примет значение больше 0,5 M(X).

    Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений с.в. X , которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей должна равняться 1. Проверка: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1 Многоугольник распределения:

    Математическое ожидание: M(X) = -2·0,1 — 1·0,2 + 0·0,5 + 1·0,1 + 2·0,1 = -0,1 Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины X от её математического ожидания: D(X) = (-2 + 0,1) 2 ·0,1 + (- 1 + 0,1) 2 ·0,2 + (0 + 0,1) 2 ·0,5 + (1 + 0,1) 2 ·0,1 + (2 + 0,1) 2 ·0,1 = 1,09 или D(X) = (-2) 2 ·0,1 + (-1) 2 ·0,2 + 0 2 ·0,5 + 1 2 ·0,1 + 2 2 ·0,1 — (-0,1) 2 = 1,1 — 0,01 = 1,09 Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии: σ = √1,09 ≈ 1,044 Коэффициент вариации V(X) = [1,044/0,1] · 100% = 1044% Коэффициент асимметрии As(X) = [(-2 + 0,1) 3 ·0,1 + (- 1 + 0,1) 3 ·0,2 + (0 + 0,1) 3 ·0,5 + (1 + 0,1) 3 ·0,1 + (2 + 0,1) 3 ·0,1]/1,044 3 = 0,200353 Коэффициент эксцесса Ex(X) = [(-2 + 0,1) 4 ·0,1 + (- 1 + 0,1) 4 ·0,2 + (0 + 0,1) 4 ·0,5 + (1 + 0,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1]/1,044 4 — 3 = 0,200353

    Функция распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем какое – либо числовое значение x: F(X) = P(X -0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7 График функции распределения:

    M(X) = 5,6; D(X) = 3,04. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3x + 2.

    Технические устройства, используемые в медицине, называют обобщенным термином «медицинская тех

    txt fb2 ePub html

    на телефон придет ссылка на файл выбранного формата

    Шпаргалки на телефон — незаменимая вещь при сдаче экзаменов, подготовке к контрольным работам и т.д. Благодаря нашему сервису вы получаете возможность скачать на телефон шпаргалки по медицинской физике. Все шпаргалки представлены в популярных форматах fb2, txt, ePub , html, а также существует версия java шпаргалки в виде удобного приложения для мобильного телефона, которые можно скачать за символическую плату. Достаточно скачать шпаргалки по медицинской физике — и никакой экзамен вам не страшен!

    Не нашли что искали?

    Если вам нужен индивидуальный подбор или работа на заказа — воспользуйтесь этой формой.

    Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температур

    Случайная величина. Закон распределения

    Определение случайной величины. Многие случайные события могут быть оценены количественно как случайные величины. Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

    Распределение дискретной случайной величины. Дискретная величина считается заданной, если указаны возможные ее значения и соответствующие им вероятности. Обозначим дискретную случайную величину х, ее значения х1, х2…, в вероятности: Р (х1) =р2, Р (х2) = р2 и т. д.

    Совокупность х и Р называется распределением дискретной случайной величины.

    Так как все возможные значения дискретной случайной величины представляют полную систему, то сумма вероятностей равна единице:

    Здесь предполагается, что дискретная случайная величина имеет n значений. Выражение называется условием нормировки.

    Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины. Наиболее употребительные из них: 1) математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений;

    2) дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

    Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия записываются в виде:

    где f(x) – плотность вероятности или функция распределения вероятностей. Она показывает, как изменяется вероятность отнесения к интервалу dx случайной величины в зависимости от значения самой этой величины. Нормальный закон распределения. В теориях вероятностей и математической статистики, в различных приложениях важную роль играет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Случайная величина распределена по этому закону, если плотность ее вероятности имеет вид:

    где а = М(х) – математическое ожидание случайной величины;

    σ – среднее квадратное отклонение; следовательно;

    σ 2 – дисперсия случайной величины. Кривая нормального закона распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно прямой х = а (центр рассеивания).

    Похожие вопросы

    • Медицинская физика — . величина. Законраспределения
      Случайнаявеличина. Законраспределения. Определение случайнойвеличины.
      Распределение дискретной случайнойвеличины. Дискретная величина считается заданной, если указаны возможные ее значения и соответствующие им вероятности.
    • Теория вероятностей и матстатистика — Случайныевеличины.
      Законраспределениявероятностей дискретной случайнойвеличины (ДСВ).
      Законраспределения СВ – это всякое со-отношение устанавливающее связь между воз-можными значениями СВ и соответствующими ими вероятностями.
    • Медицинская физика — Распределение Максвелла.
      Случайнаявеличина. Законраспределения.
      Распределение Максвелла можно рассматривать как распределение молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).
    • . и матстатистика — Основные законыраспределения ДСВ
      Законраспределениявероятностей дискретной случайнойвеличины (ДСВ).
      F( ),ее свойства и график. Опр.: ф-я распределения С.В.Х. называется ф-я F(x)выражающая для каждог.
    • Теория статистики — Методы регрессионного анализа
      где ε – случайнаявеличина, имеющая нормальный законраспределения.
      Регрессионный анализ – это метод статистического анализа зависимости случайнойвеличины у от переменных хj(j=1,2, . k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные.
    • Теория вероятностей и матстатистика — Теорема Пуассона.
      Законраспределениявероятностей дискретной случайнойвеличины (ДСВ). Способы здания случайных велич. Теорема Пуассона. Следствия.
    • Шпаргалки по теории вероятности и матстатистике
      Законраспределениявероятностей дискретной случайнойвеличины (ДСВ).
      Плотностью распределениявероятностей непре-рывной С.В. называют первую производную от ф-ии распреде. подробнее ».
    • Медицинская физика — Медицинская метрология и ее специфика
      Случайнаявеличина. Законраспределения. Определение случайнойвеличины. Многие случайные события могут быть оценены количественно как. Медицинская метрология и ее специфика.
    • Шпаргалки по медицинской физике
      Случайнаявеличина. Законраспределения. Определение случайнойвеличины.
      Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) ост. подробнее ».
    • . вычисления теоретических частот нормального распределения
      Примеры проверки гип-з о нормальном законераспределения в налогообложении.
      3. Нормируют случайнуювеличину X, т. е. переходят к величине и вычисляют концы интервалов : причем наименьшее значение Z, т. е. , полагают равным , а наибольшее, т. е. , полагают.

    найдено похожих страниц:10

    14.Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.

    Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений..

    Законом распределения дискретной случайной величины Х наз совокупность пар вида (хi, рi), где xi—возможные значения случайной величины, а pi—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е.

    Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

    Такая таблица наз рядом распределения дискретной случайной величины.Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси ох откладывают значения xi, а по оси оу—вероятности pi. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную называющаяся многоугольником распределения, которая является одной из форм задания закона распределения дискретной случ величины.

    Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями .

    Глава 1. Дискретная случайная величина

    Глава 1. Дискретная случайная величина

    §1.Понятия случайной величины.

    Закон распределения дискретной случайной величины.

    Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

    Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

    Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

    Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

    Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

    Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

    Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

    Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

    Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

    Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

    Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

    Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х — числа экзаменов, которые сдаст студент.

    Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.

    Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:

    Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

    §2. Функция распределения

    Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

    Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

    Её график изображен на рис.2:

    §3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

    К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

    Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

    М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

    Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

    Свойства математического ожидания:

    1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

    4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X, Y — независимые случайные величины;

    5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

    Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

    Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

    1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

    2)D(X)>0, где Х — случайная величина;

    3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;

    4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y — независимые случайные величины;

    Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

    где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

    Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

    Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

    Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

    Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

    Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

    Найдем функцию распределения F(х)=P(X 3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

    0 при х≤-1,

    Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

    Найдем числовые характеристики случайной величины:

    М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn

    D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

    ≈1,2845.

    §4. Биномиальный закон распределения

    дискретной случайной величины, закон Пуассона.

    Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

    Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

    Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

    Тогда говорят, что случайная величина Х — распределена по закону Пуассона.

    Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

    Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.

    Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

    Вероятность события А — «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

    — «выпадения не пятерки».

    Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

    Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

    Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

    Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

    Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

    а) 5 бракованных;

    б) хотя бы одна бракованная.

    Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

    а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

    б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

    Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 • 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

    Задачи для самостоятельной работы.

    1.1Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

    1.2.Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

    Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

    1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х — число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

    1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

    1.5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

    1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х — число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

    1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

    1.8.На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

    1.9.В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х — числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

    1.10.Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

    1.11.Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

    1.12.Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

    1.13.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1 5

    Дискретная случайная величина х имеет следующий закон распределения

    Калькулятор для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины.

    Пример 1. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения

    найти математическое ожидание.

    Решение. Для получения ответа нажимаем кнопку найти, ответ математическое ожидание M(X)=17.

    Для того чтобы найти математическое ожидание вашего задания, необходимо ввести данные ряда распределения так, как указано в примере.

    Следующий калькулятор для вычисления математического ожидания непрерывной случайной величины заданной плотностью распределения

    Пример 2. Случайная величина задана функцией плотности распределения 2&space;\end\right.» title=»f(x)=\left\ <\begin0, & x\leq 1\\ x-1/2, &1 2 \end\right.» /> найти математическое ожидание.

    Закон ее распределения

    § 13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

    Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать жирными буквами х, у,….

    Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано конечное или счетное множество чисел

    и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi, причем

    называется законом распределения дискретной случайной величины х.

    Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины х.

    Пример 1. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1  х  3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.

    Решение. а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:

    Закон распределения х представится таблицей:

    Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

    б) Вероятность событий 1  х  3 и х > 3 равны:

    р (1  х  3) = р (<1,2,3>) = р1 + р2 + р3 = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;

    р( х > 3) = р (<4>) = р4 = 0,4096.

    в) Многоугольник распределения представлен на рисунке 11.

    Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

    , k = 0,1,…n; q = 1- p,

    то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:

    Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон распределения, в котором n = 4, p = 0,8.

    Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х  2.

    Решение. Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности р0, р1, р2, р3 подсчитываем классическим способом:

    ; ;

    ;

    Закон распределения х:

    Вероятность события х  2 равна:

    р (х  2) = + = .

    Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем m s  n. Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

    pk = p(x = k) = , k = 0,1,…,m,

    то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.

    Случайная величина х из примера 2 имеет гипергеометрический закон распределения с n =7, s = 3, m = 4.

    Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

    ,  — положительное постоянное.

    Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n  , p  0, np =  = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

    , где  = np.

    Пример 3. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

    А – повреждено менее 3 изделий;

    В – повреждено более 2 изделий;

    С – повреждено хотя бы одно изделие.

    Решение. Возможные значения х: 0, 1, 2, . 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002 мало, то положив  = 500  0,002 = 1, вычислим вероятности

    приближенно по формуле Пуассона:

    , k = 0, 1, 2, . 500.

    Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:

    Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:

    p(A) = p(x 2) = 1 – p( x  2) 1 – p (<0, 1, 2>) = 0,008.

    p(C) = p (x  1) = 1 – p( x  0) 1 – p (<0>) = 1 – 0,368 = 0,632.

    324. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С – более одного мальчика.

    325. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина х – число промахов. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: x 0?

    329. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения:

    Чему равна вероятность Р4 = Р (х = 5)? Постройте многоугольник распределения.

    330. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

    331. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

    332. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон распределения х и вероятность события 2  х  4.

    333. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины х и вероятность события х  5.

    334. Производится 10 независимых опытов Бернулли, причем вероятность успеха в каждом опыте равна р (0

    Смотрите так же:

    • Тригонометрические уравнения правила Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений" Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Ночного города высокого разрешения Фотографии высокого разрешения на любую тему Цены фотографий высокого разрешения Файл, достаточный для печати фотообоев, 3D-пола, бигборда: - от 33 руб. за файл при покупке по подписке; - от 135 руб. за файл при покупке в пакетах; - от 590 руб. при покупке […]
    • Необходимое разрешение для печати Как оценить качество изображения для печати и что такое разрешение? Многие из вас, возможно, сталкивались с ситуацией, когда дергаешь понравившуюся картинку с какого-нибудь сайта, пытаешься распечатать хотя бы на А4, при этом качество печати получается […]
    • Ликвидация рога 43 пвп Гайд мути рога ПВП 7.1.5 — разбойник ликвидация легион Добро пожаловать в пвп гайд по мути роге World of Warcraft Легион, рассмотрим игру на арене и рейтинговом поле боя. Руководство составлено на основе рейтинговых таблиц с официального сайта игры. […]
    • Принципиальный спор принципиальный спор Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение . 2014 . Смотреть что такое "принципиальный спор" в других словарях: спор — горячий (Авсеенко); жаркий (П.Я.); злобный (Фруг); мятежный (Фет) Эпитеты литературной русской […]
    • Приказ по оказанию неотложной помощи Приказ № 477н от 04.05.2012Об утверждении перечня состояний, при которых оказывается первая помощь, и перечня мероприятий по оказанию первой помощи Зарегистрировано в Минюсте РФ 16 мая 2012 г. Регистрационный номер 24183 В соответствии со статьёй 31 […]
    • Г Чита нотариус Нотариус Артемьева Н.В.: Адрес: 672000, Забайкальский край, г. Чита, ул. Бутина 10, оф.2 Телефоны: (3022) 35-64-11 В числе прав и свобод, гарантируемых государством каждому гражданину, Конституция РФ предусматривает право на получение квалифицированной […]
    • Приказ 77 мз Законодательство 02 февраля 2016 Приказ №77 от 2 февраля 2016 года Приказ Министра здравоохранения и социального развития Республики Казахстан №77от 2 февраля 2016 года Зарегистрирован в Министерстве юстиции Республики Казахстан 3 марта 2016 года […]