Дискретная случайная величина задана законом распределения f x

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох , определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

  • Решение онлайн
  • Оформление Word
  • Типовые задания
  • Задана функция распределения F(x):

    Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
    (закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

    Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

    Свойства плотности распределения

    Пример №1 . Случайная величина Х задана функцией распределения F(x) :

    Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
    f(x) = dF(x)/dx = 1 /4
    Математическое ожидание.


    Дисперсия.


    Среднеквадратическое отклонение.

    Пример №2 . Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

    Пример №3 . Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения f(x). Найти величину с, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

    Примечание. Очень часто при нахождении математического ожидания и дисперсии применяют формулу интегрирования по частям.

    Математическое ожидание случайной величины. Пример решения

    Решение получаем через калькулятор. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
    Математическое ожидание M[X].
    M[x] = 0*0.2 + 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.1 = 1.4
    Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi — M[x] 2 .
    Дисперсия D[X].
    D[X] = 0 2 *0.2 + 1 2 *0.3 + 2 2 *0.4 + 3 2 *0.1 — 1.4 2 = 0.84
    Среднее квадратическое отклонение σ(x).
    sigma(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(0.84) = 0.92

    Задание 2. Дан закон распределения случайной величины X в виде таблицы: в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй — соответствующие вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
    Скачать решение:xml

    Задание 3. Задана дискретная случайная величина Х. Найти: а) математическое ожидание М(х); б) дисперсию D(x); в) среднее квадратическое отклонение б(х).
    Скачать решение:xml:xls

    Пример 1. Случайная величина X задана рядом распределения:

    Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины X . Найти неизвестную вероятность p , математическое ожидание M , Дисперсию D и среднее квадратическое отклонение. Функцию распределения F(X) и построить ее график.
    Рекомендации. Чтобы найти неизвестную вероятность p , достаточно из 1 вычесть все вероятности: p = 1 — ∑pi
    Скачать решение:xml:xls

    Задание. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. см. также другие примеры.

    Непрерывная случайная величина

    Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

    Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

    Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $\arcsin$ и $\arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

    Примеры решений

    Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

    1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[\pi, 5/4 \pi]$.
    2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

    Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

    Требуется:
    а) найти коэффициент C;
    б) найти функцию распределения F(x);
    в) найти M(X), D(X), σ(X)
    г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t <0.
    1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
    2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
    3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
    4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

    Задача 6. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:

    А) найти $a$ и $b$;
    Б) найти плотность $f(x)$;
    В) нарисовать график $F(x)$;
    Г) нарисовать график $f(x)$;
    Д) найти $M[X]$;
    Е) найти $D[X]$.

    Задача 7. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид: $$F(x)=A+B \arctan (x/2), -\infty \lt x \lt \infty $$ (закон Коши).
    А) определить постоянные $A$ и $B$;
    Б) найти плотность распределения вероятностей
    В) найти $P(-1 \lt X \lt 1)$;
    Г) нарисовать график $F(x)$;
    Д) нарисовать график $f(x)$.

    Задача 8. Случайная величина $X$ имеет распределение Парето с плотностью вероятности $f(x)=4/23(23/x)^5$ при $23 \le x$ и $f(x)=0$ при $x \lt 23$.
    Найдите $M(X)$ и $P(23\lt X \lt 27)$.

    Задача 9. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) $F(x)$. Найти:
    А) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(a;b)$.
    Б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) $f(x)$.
    В) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины $X$.
    Г) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$.

    Задача 10. Случайная величина $X$ подчинена закону Лапласа $p(x)=a\cdot e^<-\lambda |x|>$, $\lambda \gt 0.$ Найти $a$, $M(x)$, $D(x)$ и $F(x)$. Построить графики $p(x)$ и $F(x)$.

    Задача 11. Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)$. Найти:
    5) дифференциальную функцию $f(x)$ (плотность распределения),
    6) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.
    7) Моду $Mo$ и медиану $Me$,
    8) $P(1/2 \lt X \lt 2).$
    Построить графики функции и плотности распределения.

    Задача 12. Случайная величина $Х$ подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на участке от $-a$ до $+a$.
    а) Написать выражение для плотности распределения.
    б) Построить график функции распределения.
    в) Определить числовые характеристики случайной величины Х.

    Решебник по теории вероятности онлайн

    Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

    Математическое ожидание дискретной случайной величины

    Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

    • Видеоинструкция

    Свойства математического ожидания случайной величины

  • Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
  • M[C•X]=C•M[X]
  • Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
  • Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y] , если X и Y независимы.
  • Свойства дисперсии

    1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
    2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
    3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
    4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
    5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
      D(X)=M(X 2 )-(M(X)) 2

    Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y : M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
    Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) — 8*M(Y) + M(7) = 9*8 — 8*7 + 7 = 23.
    Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) — D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) — 8^2D(Y) + 0 = 81*9 — 64*6 = 345

    Дискретная случайная величина и функция её распределения

    Определение дискретной случайной величины и ряд её распределения

    Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

    Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

    Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n. К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

    Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

    Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно — установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, . n.

    Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей — закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

    Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

    Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

    Глава 1. Дискретная случайная величина

    Глава 1. Дискретная случайная величина

    §1.Понятия случайной величины.

    Закон распределения дискретной случайной величины.

    Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

    Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

    Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

    Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

    Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

    Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

    Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

    Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

    Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

    Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

    Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

    Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х — числа экзаменов, которые сдаст студент.

    Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.

    Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:

    Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

    §2. Функция распределения

    Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

    Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

    Её график изображен на рис.2:

    §3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

    К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

    Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

    М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

    Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

    Свойства математического ожидания:

    1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

    4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X, Y — независимые случайные величины;

    5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

    Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

    Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

    1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

    2)D(X)>0, где Х — случайная величина;

    3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;

    4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y — независимые случайные величины;

    Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

    где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

    Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

    Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

    Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

    Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

    Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

    Найдем функцию распределения F(х)=P(X 3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

    0 при х≤-1,

    Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

    Найдем числовые характеристики случайной величины:

    М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn

    D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

    ≈1,2845.

    §4. Биномиальный закон распределения

    дискретной случайной величины, закон Пуассона.

    Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

    Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

    Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

    Тогда говорят, что случайная величина Х — распределена по закону Пуассона.

    Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

    Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.

    Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

    Вероятность события А — «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

    — «выпадения не пятерки».

    Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

    Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

    Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

    Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

    Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

    а) 5 бракованных;

    б) хотя бы одна бракованная.

    Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

    а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

    б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

    Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 • 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

    Задачи для самостоятельной работы.

    1.1Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

    1.2.Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

    Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

    1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х — число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

    1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

    1.5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

    1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х — число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

    1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

    1.8.На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

    1.9.В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х — числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

    1.10.Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

    1.11.Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

    1.12.Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

    1.13.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1 5

    Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач

    Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

    Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

    Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

    1. Закон распределения может быть задан таблицей:

    События X = xi (i = 1, 2, 3,…,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р123+…+рn = ∑pi =1

    2. Закон распределения может быть задан аналитически (формулой) P(X = xi) = ϕ(xi). Например:

    а) с помощью биномиального распределения: Pn(X=k) = Сn k p k q n-k , 0 0, k = 0, 1, 2, … .

    в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X 2 или D(X) = M(X 2 )−[M(X)] 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
    Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ

  • Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X).
  • Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»

    Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

    Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

    Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

    Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

    Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

    Решение. Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что выпадет одно из данных значений равна 1/6. Закон распределения представим в виде таблицы:

    Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

    Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

    Решение. 1. Дискретная случайная величина X= <число отказавших элементов в одном опыте>имеет следующие возможные значения: х1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2=1 (отказал один элемент), х3=2 (отказало два элемента) и х4=3 (отказали три элемента).

    Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
    P3(0) = С3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
    P3(1) = С3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
    P3(2) = С3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
    P3(3) = С3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
    Проверка: ∑pi = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

    Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

    Смотрите так же:

    • Правила работы пожарного автомобиля Должностные обязанности водителя пожарного автомобиля Скорость приезда пожарной машины на место пожара и своевременная активация всего необходимого оборудования зависят от множества факторов, например, от текущей дорожной ситуации, удобства подъезда к водным […]
    • Квитанция об оплате госпошлины на загранпаспорт старого образца москва Квитанция на оплату госпошлины за загранпаспорт в Москве 192 1 08 06000 01 0003 110 Государственная пошлина за выдачу загранпаспорта старого образца 192 1 08 06000 01 0004 110 Государственная пошлина за выдачу загранпаспорта нового образца 192 1 08 06000 01 […]
    • Налоги в россии кратко Какие виды налогов существуют в РФ Содержание статьи Какие виды налогов существуют в РФ Как выбрать налогообложение для ИП Чем отличается новый налоговый кодекс Украины Классификация налогов в РФ C точки зрения формирования налоговой базы различают […]
    • Опубликование законов в газете Федеральный закон от 14 июня 1994 г. N 5-ФЗ "О порядке опубликования и вступления в силу федеральных конституционных законов, федеральных законов, актов палат Федерального Собрания" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 14 июня 1994 г. N 5-ФЗ […]
    • Правила дорожного движения жесты регулировщика Жесты регулировщика в картинках с пояснениями На современных городских дорогах редко встретишь инспектора ГАИ. В основном регулировка движения производится сигналами светофора. Именно поэтому пункт 7 правил дорожного движения довольно быстро забывается и при […]
    • Как оформить потолки в квартире Деревянные балки в современном интерьере, дизайнер Gervais Fortin Футуристический потолок из глянцевого пластика от Shanel Mor Так, например, общеизвестно, что блестящие глянцевые поверхности заставляют потолок казаться визуально выше, поэтому вы с чистой […]
    • Жалоба по вновь открывшимся обстоятельствам образец Образец заявления о пересмотре решения суда по вновь открывшимся обстоятельствам В Щелковский городской суд Московской области Истец: Иванов Иван Иванович Ответчик: ЗАО "Путь успеха" Место расположения: Московская область, г.. Щелково, ул. Реконструкторов, […]
    • Сайт шахунского суда Сайт шахунского суда Кондратьева Людмила Владимировна Помощник судьи Пьянзова Наталья Сергеевна Телефон: 8 (83152) 2-71-67 Секретарь судебного заседания Пичугина Светлана Муратовна Секретарь суда Вахонина Александра Александровна Телефон: (831 52) 2 71 […]