Правила умножения числа на произведение чисел

Содержание:

Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части, на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей:

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть, записать правило для этого действия можно формулой:

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

Простейшие действия с дробями онлайн

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения, но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Как найти разность чисел в математике

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

  • сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
  • разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
  • произведение — результат умножения чисел;
  • частное — результат деления.
  • Это интересно: что такое модуль числа?

    Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

  • сумма — прибавить;
  • разность — отнять;
  • произведение — умножить;
  • частное — разделить.
  • Разность в математике

    Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

    • Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
    • Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
    • Это вычитание одного числа из другого.
    • Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
    • Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
    • Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
    • Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
    • Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.
    • И все эти определения являются верными.

      Как найти разницу величин

      Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

      • Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
      • Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

      • Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

      Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

    • Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
    • Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
    • Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

    • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
    • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
    • Математические действия с разностью чисел

      Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

      Простые примеры

      • Пример 1. Найти разницу двух величин.
      • 20 — уменьшаемое значение,

        Решение: 20 — 15 = 5

        Ответ: 5 — разница величин.

      • Пример 2. Найти уменьшаемое.
      • 32 — вычитаемое значение.

        Решение: 32 + 48 = 80

      • Пример 3. Найти вычитаемое значение.
      • 17 — уменьшаемая величина.

        Решение: 17 — 7 = 10

        Ответ: вычитаемое значение 10.

        Более сложные примеры

        На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

      • Пример 4. Найти разницу трёх значений.
      • Даны целые значения: 56, 12, 4.

        56 — уменьшаемое значение,

        12 и 4 — вычитаемые значения.

        Решение можно выполнить двумя способами.

        1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

        1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

        2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

        1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

        Ответ: 40 — разница трёх значений.

      • Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
      • Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

        4/5 — уменьшаемая дробь,

        Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

        Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5

      • Пример 6. Утроить разницу чисел.
      • А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

        Вновь прибегнем к правилам:

      • Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
      • Утроенное число — это величина, умноженная на три.
      • Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
      • Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.
      • 7 — уменьшаемая величина,

        5 — вычитаемая величина.

        2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.

      • Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.
      • 7 — уменьшаемая величина;

        Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

        И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

      • Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
      • Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

        Математика для блондинок

        Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

        В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

        И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

      • сумму — сложением слагаемых;
      • произведение — умножением множителей;
      • частное — делением делимого на делитель.
      • Вот такая интересная арифметика.

        Законы умножения

        Переместительный закон умножения

        Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:

        3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

        Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.

        Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:

        выражающее переместительный закон умножения:

        От перестановки сомножителей произведение не меняется.

        Сочетательный закон умножения

        Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:

        3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24

        3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24

        Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

        выражающее сочетательный закон умножения:

        Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

        Распределительный закон умножения

        Для любых натуральных чисел верны равенства:

        выражающие распределительный закон умножения:

        Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

        Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

        Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:

        Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

        Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных – 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.

        Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:

        Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.

        Переход от умножения:

        соответственно к сложению и вычитанию:

        называется раскрытием скобок.

        Переход от сложения и вычитания:

        называется вынесением общего множителя за скобки.

        Что такое умножение?

        Умножение – это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.

        Число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым (оно умножается), число, которое показывает сколько раз повторить слагаемое, называется множителем. Число, полученное в результате умножения, называется произведением.

        Например, умножить натуральное число 2 на натуральное число 5 – значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 2:

        2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

        В этом примере мы находим сумму обыкновенным сложением. Но когда число одинаковых слагаемых велико, нахождение суммы посредством сложения всех слагаемых становится слишком утомительным делом.

        Для записи умножения используется знак × (косой крест) или · (точка). Он ставится между множимым и множителем, при этом множимое записывается слева от знака умножения, а множитель – справа. Например, запись 2 · 5 означает, что число 2 умножается на число 5. Справа от записи умножения ставят знак = (равно), после которого записывают результат умножения. Таким образом, полная запись умножения выглядит так:

        Эта запись читается так: произведение двух и пяти равняется десяти или два умножить на пять равно десять .

        Таким образом, мы видим, что умножение представляет собой просто краткую форму записи сложения одинаковых слагаемых.

        Проверка умножения

        Для проверки умножения можно произведение разделить на множитель. Если в результате деления получится число, равное множимому, то умножение выполнено верно.

        где 4 – это множимое, 3 – это множитель, а 12 – произведение. Теперь выполним проверку умножения, разделив произведение на множитель:

        Умножение также можно проверить разделив произведение на множимое. Если в результате деления получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:

        Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения

        Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

        Таблица умножения

        Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6 . Иначе это запишем: 6 · 3 = 6 + 6 + 6 = 18 . Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.

        Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

        Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8 , необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 ( 8 ) , и строку левой ячейки, где число 8 ( 6 ) . Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8 .

        Умножение трех и более количества чисел

        Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

        Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a · ( b · c ) и ( a · b ) · c , где a , b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a · b · c . Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.

        Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных ( a · b ) · ( c · d ) , ( a · ( b · c ) ) · d , ( ( a · b ) · c ) · d , a · ( b · ( c · d ) ) и a · ( ( b · c ) · d ) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a · b · c · d .

        Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

        Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2 · 1 · 3 · 1 · 8 . Имеется два основных способы решения.

        Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 2 · 3 · 1 · 8 . Так как 2 · 3 = 6 , то 2 · 3 · 1 · 8 = 6 · 1 · 8 . Далее имеем, что 6 · 1 = 6 , тогда в итоге получим результат 6 · 8 = 48 . Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48 . Этот способ записывается, как ( ( ( 2 · 1 ) · 3 ) · 1 ) · 8 .

        Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ( ( 2 · 1 ) · 3 ) · ( 1 · 8 ) . Имеем, что 2 · 1 = 2 и 1 · 8 = 8 , то ( ( 2 · 1 ) · 3 ) · ( 1 · 8 ) = ( 2 · 3 ) · 8 . При 2 · 3 равном 6 получим, что ( 2 · 3 ) · 8 = 6 · 8 . В итоге получим, что 6 · 8 = 48 . Отсюда следует, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 48 .

        Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

        Даны четыре числа для умножения: 3 , 9 , 2 , 1 . Их произведение записывается в виде 3 · 9 · 2 · 1 .

        При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18 .

        Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

        Тогда получим: 3 · 9 · 2 · 1 = 3 · 2 · 9 · 1 = ( 3 · 2 ) · ( 9 · 1 ) = 6 · 9 = 54 .

        При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

        Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

        Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

        Тогда в одном ящике 3 · 2 = 6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6 · 4 = 24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2 · 4 = 8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3 · 8 = 24 предмета.

        Эти решения можно записать таким образом ( 3 · 2 ) · 4 = 6 · 4 = 24 или 3 · ( 2 · 4 ) = 3 · 8 = 24 .

        Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3 , 2 , 4 , а значит, что 3 · 2 · 4 = 24 .

        При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

        Умножение суммы на натуральное число и наоборот

        Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

        Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: ( a + b ) · c = a · c + b · c , где a , b , c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного ( a + b + c ) · d = a · d + b · d + c · d , ( a + b + c + d ) · h = a · h + b · h + c · h + d · h и т.д., где a , b , c , d , h являются натуральными числами.

        Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

        Если взять сумму из пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на 3 , получим, что ( 7 + 2 + 3 + 8 + 8 ) · 3 = 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 . Отсюда имеем, что 7 · 3 = 21 , 2 · 3 = 6 , 3 · 3 = 9 , 8 · 3 = 24 , то 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 = 21 + 6 + 9 + 24 + 24 , после чего находим сумму чисел 21 + 6 + 9 + 24 + 24 = 84 .

        Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

        Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

        Например, 2 · ( 6 + 1 + 3 ) = 2 · 6 + 2 · 1 + 2 · 3 = 12 + 2 + 6 = 20 . Здесь применяем правила умножения числа на сумму.

        Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

        В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

        Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3 + 7 + 2 . Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, ( 3 + 7 + 2 ) · 4 предметов.

        Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда ( 3 + 7 + 2 ) · 4 = 3 · 4 + 7 · 4 + 2 · 4 = 12 + 28 + 8 = 48 .

        Ответ: 48 предметов.

        Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

        Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10 , рассмотрим подробно.

        Натуральные числа вида 20 , 30 , 40 , … , 90 соответствуют 2 , 3 , 4 , … , 9 десяткам. Это значит, что 20 = 10 + 10 , 30 = 10 + 10 + 10 , … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2 · 10 = 20 , 3 · 10 = 30 , . . . , 9 · 10 = 90 .

        Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

        2 · 100 = 200 , 3 · 100 = 300 , . . . , 9 · 100 = 900 ; 2 · 1 000 = 2 000 , 3 · 1 000 = 3 000 , . . . , 9 · 1 000 = 9 000 ; 2 · 10 000 = 20 000 , 3 · 10 000 = 30 000 , . . . , 9 · 10 000 = 90 000 ; . . .

        Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10 · 10 = 100 ;

        что десяток сотен – это тысяча, тогда 100 · 10 = 1 000 ;
        что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000 · 10 = 10 000 .
        Исходя из рассуждений, получим 10 000 · 10 = 100 000 , 100 000 · 10 = 1 000 000 , …

        рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

        Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10 .

        Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.

        Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032 · 10 = ( 7 000 + 30 + 2 ) · 10 = 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 . Число 7000 можно представить в виде произведения 7 · 1 000 , число 30 произведением 3 · 10 .

        Отсюда получим, что сумма 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 будет равна сумме ( 7 · 1 000 ) · 10 + ( 3 · 10 ) · 10 + 2 · 10 . Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как ( 7 · 1 000 ) · 10 + ( 3 · 10 ) · 10 + 2 · 10 = 7 · ( 1 000 · 10 ) + 3 · ( 10 · 10 ) + 2 · 10 .

        Отсюда получим, что 7 · ( 1 000 · 10 ) + 3 · ( 10 · 10 ) + 2 · 10 = 7 · 10 000 + 3 · 100 + 2 · 10 = 70 000 + 300 + 20 . Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320 : 70 000 + 300 + 20 .

        Ответ: 7 032 · 10 = 70 320 .

        Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10 . В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0 .

        Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10 . Если в конце записи дописать цифру 0 , тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10 . Когда в записи натурального числа дописывают 0 , то полученное число применяется как результат умножения на 10 .

        Приведем примеры: 4 · 10 = 40 , 43 · 10 = 430 , 501 · 10 = 5 010 , 79 020 · 10 = 790 200 и так далее.

        Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10 , можно получить умножение произвольного числа на 100 , 1000 и выше.

        Если 100 = 10 · 10 ,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10 .

        17 · 100 = 17 · 10 · 10 = 170 · 10 = 1 700 ; 504 · 100 = 504 · 10 · 10 = 5 040 · 10 = 50 400 ; 100 497 · 100 = 100 497 · 10 · 10 = 1 004 970 · 10 = 10 049 700 .

        Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100 . Это и называется правилом умножения числа на 100 .

        Произведение 1 000 = 100 · 10 , тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10 . Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000 . Когда в записи имеется 3 цифры 0 , тогда считают, что это результат умножения числа на 1000 .

        Таким же образом производится умножение на 10000 , 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.

        В качестве примера запишем:

        58 · 1 000 = 58 000 ; 6 032 · 1 000 000 = 6 032 000 000 ; 777 · 10 000 = 7 770 000 .

        Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

        Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

        Найти произведение трехзначного числа 763 на 5 .

        Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763 = 700 + 60 + 3 . Отсюда получим, что 763 · 5 = ( 700 + 60 + 3 ) · 5 .

        Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

        ( 700 + 60 + 3 ) · 5 = 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 .

        Произведения 700 = 7 · 100 и 60 = 6 · 10 и сумма 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 записывается, как ( 7 · 100 ) · 5 + ( 6 · 10 ) · 5 + 3 · 5 .

        Применив переместительное и сочетательное свойство, получим ( 7 · 100 ) · 5 + ( 6 · 10 ) · 5 + 3 · 5 = ( 5 · 7 ) · 100 + ( 5 · 6 ) · 10 + 3 · 5 .

        Так как 5 · 7 = 35 , 5 · 6 = 30 и 3 · 5 = 15 , то ( 5 · 7 ) · 100 + ( 5 · 6 ) · 10 + 3 · 5 = 35 · 100 + 30 · 10 + 15 .

        Выполняем умножение на 100 , на 10 . После этого выполняем сложение 35 · 100 + 30 · 10 + 15 = 3 500 + 300 + 15 = 3 815

        Ответ: произведение 763 и 5 = 3815 .

        Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

        Найти произведение 3 и 104558 .

        3 · 104 558 = 3 · ( 100 000 + 4 000 + 500 + 50 + 8 ) = = 3 · 100 000 + 3 · 4 000 + 3 · 500 + 3 · 50 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 3 · ( 4 · 1 000 ) + 3 · ( 5 · 100 ) + 3 · ( 5 · 10 ) + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + ( 3 · 4 ) · 1 000 + ( 3 · 5 ) · 100 + ( 3 · 5 ) · 10 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 12 · 1 000 + 15 · 100 + 15 · 10 + 3 · 8 = = 300 000 + 12 000 + 1 500 + 150 + 24 = 313 674 .

        Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674 .

        Умножение двух многозначных натуральных чисел

        Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

        Вычислить произведение 41 и 3806 .

        Решение

        Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000 + 800 + 6 , тогда 41 · 3 806 = 41 · ( 3 000 + 800 + 6 ) .

        Правило умножения применимо для 41 · ( 3 000 + 800 + 6 ) = 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 .

        Так как 3 000 = 3 · 1 000 и 800 = 8 · 100 , тогда справедливо равенство 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 = 41 · ( 3 · 1 000 ) + 41 · ( 8 · 100 ) + 41 · 6 .

        Сочетательное свойство способствует записи последней суммы ( 41 · 3 ) · 1 000 + ( 41 · 8 ) · 100 + 41 · 6 .

        Вычисляя произведения 41 · 3 , 41 · 8 и 41 · 6 , представляем его в виде суммы

        41 · 3 = ( 40 + 1 ) · 3 = 40 · 3 + 1 · 3 = ( 4 · 10 ) · 3 + 1 · 3 = ( 3 · 4 ) · 10 + 1 · 3 = 12 · 10 + 3 = 120 + 3 = 123 ; 41 · 8 = ( 40 + 1 ) · 8 = 40 · 8 + 1 · 8 = ( 4 · 10 ) · 8 + 1 · 8 = ( 8 · 4 ) · 10 + 1 · 8 = 32 · 10 + 8 = 320 + 8 = 328 ; 41 · 6 = ( 40 + 1 ) · 6 = 40 · 6 + 1 · 6 = ( 4 · 10 ) · 6 + 1 · 6 = ( 6 · 4 ) · 10 + 1 · 6 = 24 · 10 + 6 = 240 + 6 = 246

        ( 41 · 3 ) · 1 000 + ( 41 · 8 ) · 100 + 41 · 6 = 123 · 1 000 + 328 · 100 + 246 = 123 000 + 32 800 + 246

        Вычислим сумму натуральных чисел:

        123 000 + 32 800 + 246 = 156 046

        Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046 .

        Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

        Проверка результата умножения натуральных чисел

        Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

        Произвести умножение 11 на 13 , равное 143 . Необходимо выполнить проверку.

        Проверка производится посредством деления 143 на 11 . Тогда получим, что 143 : 11 = ( 110 + 33 ) : 11 = 110 : 11 + 33 : 11 = 10 + 3 = 13 .

        Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

        Произведено умножение 37 на 14 . Результат равен 528 . Выполнить проверку.

        Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37 . Должны получить число 14 . Производится делением столбиком:

        При делении мы выявили, что 528 делится на 37 , но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.

        Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

        Вычислить произведение чисел 53 и 7 , после чего выполнить проверку.

        Представляем число в виде суммы 50 + 3 . Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53 · 7 = ( 50 + 3 ) · 7 = 50 · 7 + 3 · 7 = 350 + 21 = 371 .

        Для выполнения проверки, разделим 371 на 7 : 371 : 7 = ( 350 + 21 ) : 7 = 350 : 7 + 21 : 7 = 50 + 3 = 53 . Значит, умножение произведено верно.

        Математика

        Тестирование онлайн

        Сложение чисел

        Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.

        Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

        От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

        Вычитание чисел

        Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.

        Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

        Умножение чисел

        Результат умножения двух или более чисел называется произведением, а сами числа — множителями.

        Умножить число а на b — значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

        Например,

        Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

        Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

        От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.

        Законы сложения*

        1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

        2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

        Законы умножения*

        1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

        2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

        3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.

        Умножение положительных и отрицательных чисел

        Умножение положительных и отрицательных чисел (то есть чисел с разными знаками) выполняется по следующему правилу:

        Чтобы перемножить два числа с разными знаками (положительное и отрицательное число), надо перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».

        Поскольку модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, получаем:

        То есть произведение двух чисел, одно из которых положительное, а другое — отрицательное, является отрицательным числом.

        На практике при умножении чисел с разными знаками запись сокращают (модули находят устно):

        Рассмотрим на конкретных примерах, как умножают положительные и отрицательные числа.

        При умножении отрицательного числа на положительное получаем отрицательное число:

        2) Применяем правила умножения чисел с разными знаками и умножения десятичных дробей:

        По правилам умножения чисел с разными знаками и умножения дроби на натуральное число:

        Используем правила умножения положительных и отрицательных чисел и умножения дробей:

        По правилам умножения чисел с разными знаками и смешанных чисел:

        При умножении нескольких чисел с разными знаками знак результата зависит от количества входящих в произведение отрицательных чисел.

        При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому если количество чисел со знаком «-» чётное, результат является числом положительным, если нечётное — отрицательным.

        Смотрите так же:

        • Коллекторы максима Жительницу Тюмени спасли от недобросовестных коллекторов Жительница Тюмени пожаловалась на коллекторов, терроризирующих ее требованиями вернуть долг. Сотрудники Управления федеральной службы судебных приставов по региону провели проверку, сообщили в […]
        • Налоги на иностранные автомобили Какой порядок налогообложения иностранных граждан Считается, что если гражданин пребывает значительную часть года в иной стране, центр его финансовых интересов расположен именно здесь. Для таких случаев налогообложение иностранных граждан предусматривает […]
        • Кто достойный гражданин рф Если крикнет рать святая: «Кинь ты Русь, живи в раю!», Я скажу: «Не надо рая, Дайте родину мою». На мой взгляд, гражданин – это прежде всего человек неравнодушный, знающий , любящий свою Родину и ценящий культурное наследие своих предков. Я уверена, […]
        • Уточнение иска в гпк Уточнение иска Уточнение искового заявления Тема не раскрыта Об уточнении исковых требований в порядке ст. 49 АПК РФ Истцом был предъявлен иск кподтверждающие направление заявления об уточнении требований и расчета требований. В канцелярию можно сдать (с […]
        • Бесплатный помощник юриста Подсказка от терминатора Рабочее место юриста Федора: Интернет, один из сайтов бесплатной помощи. Как сообщили начальники искусственного профессионала, до того Федор работал в тестовом режиме. Испытательный срок у машины (или как назвать гражданина […]
        • Правила лечения пролежней ПРОЛЕЖНИ ЛЕЧЕНИЕ Под пролежнями понимают некротические изменения в тканях (проще говоря, омертвение отдельных участков тела). Они возникают в результате длительного давления у лежачих больных или у ослабленных пациентов с определенными видами заболеваний […]
        • Забирают ли в гаи договор купли продажи znaniytutrepeesamp Забирают Ли В Гаи Договор Купли Продажи Не нужно, продавец и покупатель заключают договор купли - продажи и всё. у продавца автомобиля, другой забирает новый собственник машины. Срочняк возник вопрос! Если кто в теме — отпишитесь, плиз […]
        • Как оформить стену возле стола Оформление стен на кухне: идеи для ярких воплощений Декорирование кухонных стен – занятие крайне увлекательное, но непростое. Сложность заключается в том, что большую их часть закрывает мебель. Оставшееся пространство иногда настолько невелико, что «шаг […]