Распределение по биномиальному закону

Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равняется произведению числа всех испытаний на вероятность наступления события в отдельном испытании, то есть

.

Дисперсия равняется произведению числа всех испытаний на вероятность наступления и не наступления события в отдельном испытании, то есть

.

По статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика составляет: p = 0,515.

Составить закон распределения числа мальчиков в семье с пятью детьми. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонениеи моду.

X ‒ случайная величина ‒ число мальчиков в семье с пятью детьми.

Составим закон распределения числа мальчиков в семье с пятью детьми:

Содержание:

Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону.

Пусть произведено n опытов. Каждый опыт состоит из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и та же. Число появлений события A в каждом опыте регистрируется.

В первой строке указано число xi появлений события A в одном опыте. Во второй строке – частота ni появлений события A.

Необходимо с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о распределении дискретной случайной величины X по биномиальному закону.

Чтобы при уровне значимости a проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, необходимо реализовать следующий алгоритм.

1. Найти по формуле Бернулли вероятности Pi появления ровно i событий A в N испытаниях (i = 0, 1, 2, …, s, где s – максимальное число наблюдавшихся появлений события A в одном опыте, т. е.

2. Найти теоретические частоты

где n – число опытов.

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы (при этом предполагается, что вероятность p появления события A задана, т. е. не оценивалось по выборке и не производилось объединение малочисленных частот).

Если же вероятность p была оценена по выборке, то Если, кроме того, было произведено объединение малочисленных частот, то s – число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Распределение по биномиальному закону

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.

Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f ( x ) имеет вид

где а и σ — некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F ( x ) в рассматриваемом случае принимает вид

Параметр а— есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, σ — среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

Выясним геометрический смысл параметров распределения а и σ . Для этого исследуем поведение функции f ( x ). График функции f ( x ) называется нормальной кривой.

Рассмотрим свойства функции f ( x ):

1°. Областью определения функции f ( x ) является вся числовая ось.

3°. Предел функции f ( x ) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4°. Функция f a максимум, равный

5°. График функции f ( x ) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а + σ имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f ( x ) .

МЭБИК Теория вероятностей и математическая статистика ТМ-009/64-1 Билеты

Задания для промежуточной аттестации по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» направления подготовки 38.03.01 «Экономика» в Курском институте менеджмента, экономики и бизнеса. — Курск: типография МЭБИК. — 12 с. Идентификатор публикации: ТМ-009/64-1

Номер билета студент определяет в соответствии с заглавной буквой фамилии.

Вариант (определяется первой буквой фамилии)

Мы можем выполнить любой билет в течение 5-ти рабочих дней с момента предоплаты. Для заказа воспользуйтесь формой в самой нижней части страницы. Формы для получения выполненных билетов размещены непосредственно под заданием, которое соответствует билету. Не забывайте указывать адрес электронной почты.

Ответ на билет необходимо прислать вместе с выполненными заданиями для обязательного выполнения (задачи) в одном письме.

Вопрос № 1. Алгебра событий. Поле событий, полная группа попарно несовместимых равновозможных событий.
Вопрос №2. Случайная величина, распределенная по нормальному закону. Вероятность и числовые характеристики нормальной случайной величины.
Вопрос №3. Бернулли. Формула Бернулли. Распределение вероятностей, наивероятнейшее значение в схеме Бернулли
Задача. Студент не знает ответы на 5 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

Вопрос №1. Аксиоматика Колмогорова. Классическое и статистическое определение вероятности.
Вопрос №2. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Вероятность и числовые характеристики биномиальной случайной величины.
Вопрос №3. Схема Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г

ВНИМАНИЕ! В течение 5-10 минут после оплаты товар в прикреплённом файле высылается на электронный адрес, указанный Вами в платёжной форме. Если Вы по каким-либо причинам не получили оплаченный товар, свяжитесь с нами звонком или смс с 10.30 до 19.00 по московскому времени по Тел./WhatsApp/Viber +7(906)657-69-44 , укажите артикул товара и приблизительное время оплаты.

Вопрос № 1. Аксиоматика Колмогорова. Свойства вероятности.
Вопрос №2. Случайная величина, числовые характеристики случайной величины. Неравенство Чебышева
Вопрос №3. Схема Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Задача. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что три случайно выбранных рабочих выполняют норму.

Вопрос №1. Определение условной вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Вопрос №2. Случайная величина, числовые характеристики случайной величины. Закон больших чисел в форме Чебышева.
Вопрос №3. Схема Бернулли. Теорема Пуассона, асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 140 г до 190 г

Вопрос № 1. Определение условной вероятности. Независимые события, их свойства.
Вопрос №2. Случайная величина, нормальная случайная величина. Теорема Ляпунова.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Задача. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он не знает ответы на предложенные ему экзаменатором 2 вопроса.

Вопрос №1. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Вопрос №2. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок, требования к выборке. Вариационный ряд. Статистическое распределение вариационного ряда.
Вопрос №3. Схема Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли.
Задача. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей F(x)=0 при х 2 при 0≤х≤1, 1 при х > 1. Найти: 1) плотность вероятности; 2) математическое ожидание.

Вопрос №1. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Распределение вероятностей, наивероятнейшее значение в схеме Бернулли
Вопрос №2. Дискретный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическое распределение вероятностей, числовые характеристики
Вопрос №3. Случайная величина, распределенная по нормальному закону. Вероятность и числовые характеристики нормальной случайной величины.
Задача. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он не знает ответы на предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

Вопрос №1. Схема Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Вопрос №2. Непрерывный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическая плотность вероятности, эмпирическая функция распределения вероятностей, числовые характеристики.
Вопрос №3. Аксиоматика Колмогорова. Свойства вероятности.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 150 г до 200 г

Вопрос №1. Схема Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Вопрос №2. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание, его свойства.
Вопрос №3. Аксиоматика Колмогорова. Классическое и статистическое определение вероятности.
Задача. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих выполняют норму.

Вопрос №1. Схема Бернулли. Теорема Пуассона, асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Вопрос №2. Числовые характеристики случайной величины. Дисперсия, ее свойства, среднеквадратичное отклонение.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 110 г до 140 г

Вопрос № 1. Схема Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли.
Вопрос №2. Непрерывный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическая плотность вероятности, эмпирическая функция распределения вероятностей, числовые характеристики.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Независимые события, их свойства.
Задача Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей F(x)= 0 при х 2 при 0≤х≤1, 1 при х > 1. Найти: 1) плотность вероятности; 2) дисперсию.

Вопрос №1. Случайная величина, задание случайной величины. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства.
Вопрос №2. Дискретный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическое распределение вероятностей, числовые характеристики.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Задача. Студент не знает ответы на 5 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором 2 вопроса

Вопрос № 1. Дискретная случайная величина, функция распределения вероятностей, способы задания.
Вопрос №2. Определение условной вероятности. Независимые события, их свойства.
Вопрос №3. Схема Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Задача. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей F(x)=0 при х 2 при 0≤х≤1, 1 при х > 1. Найти: 1) плотность вероятности; 2) среднеквадратичное отклонение.

Вопрос №1. Непрерывная случайная величина, функция распределения вероятностей, плотность распределения вероятностей и ее свойства, способы задания.
Вопрос №2. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса
Вопрос №3. Схема Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Задача. Студент не знает ответы на 5 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

Вопрос № 1. Случайная величина. Функция распределения вероятностей случайной величины. Условная функция распределения вероятностей, независимые случайные величины
Вопрос №2. Схема Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г

Вопрос №1. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание, его свойства.
Вопрос №2. Схема Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Вопрос №3. Аксиоматика Колмогорова. Классическое и статистическое определение вероятности.
Задача. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что три случайно выбранных рабочих выполняют норму.

Вопрос № 1. Случайная величина, распределенная по равномерному закону. Вероятность и числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины.
Вопрос №2. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Распределение вероятностей, наивероятнейшее значение в схеме Бернулли.
Вопрос №3. Определение условной вероятности. Формула полной вероятности, формула Байеса
Задача. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей F(x)=0 при х 2 при 0≤х≤1, 1 при х>1. Найти: 1) плотность вероятности; 2) математическое ожидание.

Вопрос №1. Числовые характеристики случайной величины. Дисперсия, ее свойства, среднеквадратичное отклонение.
Вопрос №2. Аксиоматика Колмогорова. Классическое и статистическое определение вероятности.
Вопрос №3. Схема Бернулли. Теорема Пуассона, асимптотическое распределение вероятностей и наивероятнейшее значение.
Задача. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он не знает ответы на предложенные ему экзаменатором 2 вопроса.

Вопрос № 1. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Вероятность и числовые характеристики биномиальной случайной величины.
Вопрос №2. Определение условной вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Вопрос №3. Дискретный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическое распределение вероятностей, числовые характеристики.
Задача. Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 140 г до 190 г.

Вопрос №1. Случайная величина, распределенная по нормальному закону. Вероятность и числовые характеристики нормальной случайной величины.
Вопрос №2. Аксиоматика Колмогорова. Свойства вероятности.
Вопрос №3. Непрерывный вариационный ряд, таблица статистического распределения, эмпирическая плотность вероятности, эмпирическая функция распределения вероятностей, числовые характеристики.
Задача. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что три случайно выбранных рабочих выполняют норму.
Мы можем выполнить любой билет в течение 5-ти рабочих дней с момента предоплаты. Для заказа воспользуйтесь платежной формой:

Нормальный закон распределения (стр. 1 из 3)

1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 8

1.1. Нормальное распределение 8

1.2. Статистическая гипотеза 8

1.3. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости 9

1.4. Степень свободы параметра 10

1.5. Критическая область. Область принятия гипотезы. 10

1.6. Критерий Стьюдента 11

1.7. Критерий Фишера 13

1.8. Критерий Кохрэна 15

1.9. Критерий Пирсона 15

2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПАКЕТА EXCELL 19

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 21

4. 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАННЫХ В ВЫБОРКЕ 24

4. РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ О НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАННЫХ В ВЫБОРКЕ 26

Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нор­мальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и -П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с ра­ботой по теории ошибок наблюдений.

Цельих объяснения механизма формирования нормально распределенных случайных величин заключается в следующем. Постулируется, что зна­чения исследуемой непрерывной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, при­чем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может прева­лировать среди остальных, а характер воздействия — аддитивный (т.е. при воздействии случайного фактора F на величину а получается вели­чина ___________, где случайная «добавка» ______ мала и равновероятна по знаку).

Во многих случайных величинах, изучаемых в технике и других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Но центральное место нормального закона не следует объяснять его универсальной приложимостью.

В этом смысле нормальный закон — один из многих типов распределения, имеющихся в природе, однако с относительно большим удельным весом практической приложимости.

Однако полнота теоретических исследований, относящихся к нормаль­ному закону, а также сравнительно простые математические свойства де­лают его наиболее привлекательным и удобным в применении. Даже в слу­чае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существует, по крайней мере, два пути его целесообразной эксплуатации: во-первых, использовать нормальный закон в качестве пер­вого приближения (при атом нередко оказывается, что подобное допуще­ние дает достаточно точные с точки зрения конкретных целей исследова­ния результаты); во-вторых. подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины, которое видоизменяет исходный «не нормальные» закон распределения, превращая его в нормальный.

Удобно для статистических приложений и свойство «самовоспроизводимости» нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин тоже подчиняется нормальному закону распределения. Кроме того, с помощью закона нор­мального распределения выведен целый ряд других важных распределений, построены различные статистические критерии

1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Нормальное распределение

В приложениях статистики чаще всего используется нормальное (гауссовское) распределение. Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами ______, если ее плотность распределения есть

1.2. Статистическая гипотеза

Часто необходимо знать закон распределения генеральная совокуп­ности. Если он неизвестен, но есть основания предположить, чтоон имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генераль­ная совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой ги­потезе речь вдет о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, то неизвестный параметр Q равен определенному значению Q 0 , выдвигают гипотезу: Q = Q 0 . Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Например статистическими будут гипотезы; генеральная распределена по закону Пуассона, дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй — о параметрах двух известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречивую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы необходимо различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0 .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1 , противоречащую нулевой.

1.3. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэ­тому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку произво­дят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правиль­ная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q . Ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значи­мости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рис­куем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

1.4. Степень свободы параметра

. Степень свободы у какого-либо параметра определяют числом опы­тов, по которым рассчитывают данный параметр, за вычетом количества констант, найденных по этим опытам независимо друг от друга.

1.5. Критическая область. Область принятия гипотезы .

Для проверки нулевой гипотеза используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Ее обозначают t если она распределена по закону Стюдента, X 2 — по закону «хи квадрат», F по закону Фишера, G по закону Кохрэна. Обозначим эту величину К

Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина К, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением (Кнабл ) называют значение критерия, вычисленное по выборкам. .

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества; одноиз них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отверга­ется, а другое — при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений)называ­ют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформули­ровать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критичес­кой области — гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы — гипотезу принимают.

Поскольку критерий К — одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками Ккр называют точки, отделяющие критичес­кую область от области принятия гипотезы.

Различают, одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую нера­венством К>Ккр , где Ккр — положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую нера­венством К K2, где К2>К1.

1.6. Критерий Ст ьюдента

t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M<Х> генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или ког­да требуется построить доверительный интервал для M<Х> . Обнаруже­но, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распреде­лена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL

Рассмотрим Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения p, математического ожидания распределения и стандартного отклонения. Также рассмотрим распределение Бернулли.

Определение. Пусть проводятся n испытаний, в каждом из которых может произойти только 2 события: событие «успех» с вероятностью p или событие «неудача» с вероятностью q=1-p (так называемая Схема Бернулли, Bernoulli trials).

Вероятность получения ровно x успехов в этих n испытаниях равна:

Примечание : Порядок получения успехов значения не имеет. Если важен порядок, то см. статью Отрицательное Биномиальное распределение.

Количество успехов в выборке x является случайной величиной, которая имеет Биномиальное распределение (англ. Binomial distribution) p и n являются параметрами этого распределения.

Примечание: Запись означает количество сочетаний из n элементов по x. Для сочетаний также используется запись . Подробнее о сочетаниях см. статью Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL.

Напомним, что для применения схемы Бернулли и соответственно Биномиального распределения, должны быть выполнены следующие условия:

  • каждое испытание должно иметь ровно два исхода, условно называемых «успехом» и «неудачей».
  • результат каждого испытания не должен зависеть от результатов предыдущих испытаний (независимость испытаний).
  • вероятность успеха p должна быть постоянной для всех испытаний.
  • Биномиальное распределение в MS EXCEL

    В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Биномиального распределения имеется функция БИНОМ.РАСП() , английское название — BINOM.DIST(), которая позволяет вычислить вероятность того, что в выборке будет ровно х «успехов» (т.е. функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), и интегральную функцию распределения (вероятность того, что в выборке будет x или меньше «успехов», включая 0).

    СОВЕТ: Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL.

    До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция БИНОМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). БИНОМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

    В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения.

    Примечание: Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График, для плотности распределенияГистограмма с группировкой. Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

    Примечание: Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров Биномиального распределения: n и p.

    В файле примера приведены различные расчеты вероятности с помощью функций MS EXCEL:

    Как видно на картинке выше, предполагается, что:

  • В бесконечной совокупности, из которой делается выборка, содержится 10% (или 0,1) годных элементов (параметр p, третий аргумент функции = БИНОМ.РАСП() )
  • Чтобы вычислить вероятность, того что в выборке из 10 элементов (параметр n, второй аргумент функции) будет ровно 5 годных элементов (первый аргумент), нужно записать формулу: =БИНОМ.РАСП(5; 10; 0,1; ЛОЖЬ)
  • Последний, четвертый элемент, установлен =ЛОЖЬ, т.е. возвращается значение функции плотности распределения.
  • Если значение четвертого аргумента =ИСТИНА, то функция БИНОМ.РАСП() возвращает значение интегральной функции распределения или просто Функцию распределения. В этом случае можно рассчитать вероятность того, что в выборке количество годных элементов будет из определенного диапазона, например, 2 или меньше (включая 0).

    Для этого нужно записать формулу:
    = БИНОМ.РАСП(2; 10; 0,1; ИСТИНА)

    Примечание: При нецелом значении х, дробная часть отбрасывается. Например, следующие формулы вернут одно и тоже значение:
    =БИНОМ.РАСП(2; 10; 0,1; ИСТИНА)
    =БИНОМ.РАСП(2,9; 10; 0,1; ИСТИНА)

    Примечание: В файле примера плотность вероятности и функция распределения также вычислены с использованием определения и функции ЧИСЛКОМБ() .

    Показатели распределения

    В файле примера на листе Пример имеются формулы для расчета некоторых показателей распределения:

    Выведем формулу математического ожидания Биномиального распределения, используя Схему Бернулли.

    По определению случайная величина Х в схеме Бернулли (Bernoulli random variable) имеет функцию распределения:

    Это распределение называется распределение Бернулли.

    Примечание: распределение Бернулли – частный случай Биномиального распределения с параметром n=1.

    Найдем математическое ожидание (среднее, mean) распределения Бернулли (x принимает только 2 значения).

    Предположим, что мы провели n последовательных испытаний Бернулли и у нас сформировалась выборка, состоящая из n элементов: x1, x2, …, xn (каждое из которых равно 0 или 1). Сумма этих случайных величин Y=X1+X2+…+Xn, в свою очередь, также является случайной величиной и, как мы помним, будет иметь Биномиальное распределение с параметрами n и p.

    Учитывая, что математическое ожидание для каждого xi равно p, то для соответствующего Биномиального распределения μ=p*n.

    Аналогичным образом, можно вычислить дисперсию Биномиального распределения.

    Для этого сначала найдем дисперсию (второй момент, variance) распределения Бернулли:

    Соответственно, дисперсия для Биномиального распределения равна σ 2 =n*p*(1-p)= n*p*q.

    Генерация случайных чисел. Распределение Бернулли

    С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Бернулли.

    СОВЕТ: О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL.

    Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными вероятностями успеха: 0,1; 0,5 и 0,9. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры для каждой вероятности p:

    Примечание: Если установить опцию Случайное рассеивание (Random Seed), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию =25 можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами.

    В итоге будем иметь 3 столбца по 100 чисел, на основании которых можно, например, оценить вероятность успеха p по формуле: Число успехов/100 (см. файл примера лист ГенерацияБернулли ).

    Примечание: Для распределения Бернулли с p=0,5 можно использовать формулу =СЛУЧМЕЖДУ(0;1) , которая соответствует дискретному равномерному распределению.

    Генерация случайных чисел. Биномиальное распределение

    С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из Биномиального распределения.

    Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными вероятностями успеха: 0,1; 0,5; 0,9. Количество испытаний n установим 20. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры для каждой вероятности p:

    В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, например, оценить вероятность успеха p по формуле: Среднее значение успехов/n (см. файл примера лист ГенерацияБином ).

    Примечание: Для генерирования массива чисел, распределенных по Биномиальному закону, можно использовать формулу =БИНОМ.ОБР(20; p; СЛЧИС()) , где p – вероятность успеха. Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист ГенерацияБином ).

    Оценка параметра p

    В схеме Бернулли оценить параметр распределения p можно по формуле =СУММ(B14:B113)/СЧЁТ(B14:B113) . В формуле предполагается, что массив случайных чисел находится в диапазоне B14:B113.

    Оценить параметр Биномиального распределения p можно по формуле = СРЗНАЧ(B13:B112)/n (предполагается, что случайные числа сгенерированы формулой =БИНОМ.ОБР(n; p; СЛЧИС() ). Также в формуле предполагается, что массив случайных чисел находится в диапазоне B13:B112.

    Обратная функция БИНОМ.ОБР()

    Вспомним график функции Биномиального распределения:

    Решим задачу. Предположим, что для целей контроля качества нам требуется определить наибольшее допустимое количество дефектных изделий, которое еще позволяет обойтись без отбраковки всей партии.

    Задана величина выборки из партии (n=20) и р=0,2 — доля дефектных изделий, которая обычно наблюдается в данном производственном процессе. Также пусть задана вероятность допустить ошибку 1-го рода (см. статью про уровень доверия) равная 90%. Пороговый приемочный критерий можно вычислить по формуле =БИНОМ.ОБР(20; 0,2; 90%) . Формула вернет значение 6 — наибольшее количество дефектных изделий, допустимое в выборке.

    Примечание: Третий аргумент функции БИНОМ.ОБР() называется Альфа (α error, type I error, риск производителя, альфа-риск) и представляет собой вероятность допустить ошибку 1-го рода при проверке статистической гипотезы (см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна)).

    Предположим, что в выборке обнаружилось 7 дефектных изделий. Это означает, что «очень вероятна» ситуация, что изменилась доля дефектных изделий p, которая является характеристикой нашего производственного процесса. Хотя такая ситуация «очень вероятна», но существует вероятность (альфа-риск, ошибка 1-го рода, «ложная тревога»), что все же p осталась без изменений, а увеличенное количество дефектных изделий обусловлено случайностью выборки.

    Как видно на рисунке ниже, 7 – количество дефектных изделий, которое допустимо для процесса с p=0,21 при том же значении Альфа. Это служит иллюстрацией, что при превышении порогового значения дефектных изделий в выборке, p «скорее всего» увеличилось. Фраза «скорее всего» означает, что существует всего лишь 10% вероятность (100%-90%) того, что отклонение доли дефектных изделий выше порогового вызвано только сучайными причинами.

    Таким образом, превышение порогового количества дефектных изделий в выборке, может служить сигналом, что процесс расстроился и стал выпускать больший процент бракованных изделий.

    Примечание: До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция КРИТБИНОМ() , которая эквивалентна БИНОМ.ОБР() . КРИТБИНОМ() оставлена в MS EXCEL 2010 и выше для совместимости.

    Связь Биномиального распределения с другими распределениями

    Если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p стремится к 0, то в этом случае Биномиальное распределение может быть аппроксимировано Распределением Пуассона.
    Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

  • p0,9 (учитывая, что q=1-p, вычисления в этом случае необходимо производить через qх нужно заменить на nx). Следовательно, чем меньше q и больше n, тем приближение точнее).
  • При 0,1 10 Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением.

    В свою очередь, Биномиальное распределение может служить хорошим приближением Гипергеометрического распределения, когда размер совокупности N Гипергеометрического распределения гораздо больше размера выборки n (т.е., N>>n или n/N Похожие задачи

    Законы распределения дискретных случайных величин

    Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:

  • Биномиальный закон распределения
  • Пуассоновский закон распределения
  • Геометрический закон распределения
  • Гипергеометрический закон распределения

Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.

1. Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot <\left(1-p\right)>^$. Фактически, случайная величина $X$ — это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний Бернулли. Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end$

Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример. В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ — числа мальчиков в семье.

Пусть случайная величина $\xi $ — число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi :\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot <\left(1-p\right)>^$, где $n=2$ — число независимых испытаний, $p=0,5$ — вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:

Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:

Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _^P(\xi _<<\rm i>> )=0,25+0,5+0,25=1 $.

Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt=\sqrt<0,5>\approx 0,707$.

2. Закон распределения Пуассона.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=<<<\lambda >^k>\over >\cdot e^<-\lambda >$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.

Замечание. Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.

Пример. Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.

Пример. Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ — число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)=<<<\lambda >^k>\over >\cdot e^<-\lambda >$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.

Закон распределения случайной величины $X$:

Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Геометрический закон распределения.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p<\left(1-p\right)>^,\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.

Пример. Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.

Пример. На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ — число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Пусть случайная величина $X$ — число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^$, где: $p=2/5$ — вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ — вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end$

$M\left(X\right)=\sum^n_=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Среднее квадратическое отклонение:

4. Гипергеометрический закон распределения.

Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ — число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:

Замечание. Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.

$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК. Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=<\over >\right)\left(1-<\over >\right)>\over >$.

Пример. В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.

а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения.

Пусть случайная величина $X$ — число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ — размер совокупности, $m=5$ — число успехов в совокупности, $n=3$ — размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ — число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)=^ \cdot C_^ \over C_^ > $. Имеем:

Тогда ряд распределения случайной величины $X$:

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end$

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.

Смотрите так же:

  • Налог ооо за работников ИП и организации, являющиеся работодателями, обязаны с выплат сотрудникам, работающим по трудовым договорам, ежемесячно перечислять страховые взносы на пенсионное, медицинское и социальное страхование в ФНС РФ. Взносы на травматизм по прежнему уплачиваются в […]
  • Согласие супруга на сделку и залог Согласие супруга на сделку и залог Автострахование Жилищные споры Земельные споры Административное право Участие в долевом строительстве Семейные споры Гражданское право, ГК РФ Защита прав потребителей Трудовые споры, пенсии […]
  • Адвокаты по жилищным вопросам ростов-на-дону Юридические консультации по жилищным вопросам в Ростове-на-Дону Если вам нужен юрист по жилищным вопросам в Ростове-на-Дону, воспользуйтесь сайтом Юду для его поиска. На YouDo зарегистрированы опытные специалисты, которые недорого и круглосуточно […]
  • Форма заявления о предоставлении выписки егрюл Заявление с просьбой предоставить сведения в виде выписки Согласно пункту 1 статьи 4 Федерального закона от 8 августа 2001 г. № 129-ФЗ "О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей" в РФ ведется Единый государственный […]
  • Понятие величина и закон спроса Понятие величина и закон спроса О значении спроса и предложения для жизни современного человека говорит фраза " Научите попугая произносить слова " спрос" и " предложение" - иперед вами экономист!" Вэтой язвительной шутке есть большая доля правды, так как, […]
  • Разрешение супруга на дарение Письменное согласие одного из супругов на отчуждение, продажу квартиры и его образец Если недвижимое имущество куплено после заключения брака, и принадлежит одному из супругов, тогда вступает в силу специальный режим пользования им. Фактически оно является […]
  • Развод партий Препарат Гельмитон (Gelmiton) от паразитов: развод населения и аналоги препарата, которые можно купить в аптеке в Москве Содержание Гельмитон(Gelmiton): состав Паразиты – это бич современного общества. Инфицирование происходит при малейшем контакте с […]
  • Правила сбора мочи на кортизол Моча на гормоны — кортизол в суточной моче Гормональный фон, с одной стороны, во многом определяет состояние здоровья человека, а с другой — является показателем положения дел в организме. Существует целый ряд лабораторных исследований, которые позволяют […]