Смежный угол правила

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

рис. 4

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a : l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

  • Что такое угол?
  • Что такое смежные углы

    Определение смежных углов

    Смежными углами называются два прилежащих угла, несовпадающие стороны которых образуют прямую (рис. 1).

    Углы называются прилежащими, если они имеют общую вершину и общую сторону, а также, если их внутренние области не покрывают друг друга (рис. 2).

    Теорема о смежных углах.

    Сумма градусных мер смежных углов равна .

    Задание. Чему равна градусная мера угла , если градусная мера смежного с ним угла равна ?

    Решение. Из теоремы о смежных углах получаем, что

    Отсюда

    Ответ.

    Следствия из теоремы о смежных углах

    1. Если два угла равны, то углы, которые являются для них смежными, также равны.
    2. Если угол не развернутый, то он не равен 180 градусам.
    3. Угол, который является смежным прямому углу (то есть углу, градусная мера которого равна ), также является прямым.
    4. Угол, смежный с острым углом (величина которого меньше ), является тупым (величина больше ), а смежный тупому — острым.
    5. Задание. Доказать, что для двух неравных углов, их смежные углы также не равны, причем большему углу соответствует меньший смежный угол.

      Доказательство. Пусть заданы два угла . Для определенности будем считать, что . Пусть и — соответствующие им смежные углы. Тогда по теореме о смежных углах имеем:

      Так как , то и разности, стоящие в правых частях последних равенств также не равны, причем при равенстве уменьшаемого та разность меньше, где вычитаемое больше, следовательно .

      Что и требовалось доказать.

      Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

      рис. 2

      На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

      Доказательство:
      Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

      Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

      Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

      Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

      Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

      Решение задач

      Итог урока

      1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
      2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
      3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
      4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
      5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1 : 5 соответственно. Найдите смежные углы.
      6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

    Смежный угол правила

    Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).


    СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

    рис. 3

    Теорема о смежных углах

    Теорема: сумма смежных углов равна 180°

    Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

    Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

    Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

    Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

    Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
    пересекающиеся прямые.

    Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
    На рисунке 1:
    смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
    вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
    Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
    Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

    Интересный факт

    Связь математики с музыкой

    Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

    Геометрия вокруг нас

    Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

    Математический диктант на повторение ранее выученного материала

    1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
    2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

    3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
    4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

    1. Какие бывают типы углов?
    2. Какая особенность смежных углов?
    3. Смежные углы

      Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

      Определение.

      Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

      ∠1 и ∠2 — смежные углы

      Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

      При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

      Но, так как ∠1 =∠4, ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

      Свойство смежных углов.

      Сумма смежных углов равна 180º.

      1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

      ∠AOC и ∠BOC — смежные,

      ∠AOC на 42º больше, чем ∠BOC

      Найти: ∠AOC и ∠BOC.

      Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

      Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

      Ответ: 69º и 111º.

      2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

      Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

      Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

      Ответ: 80º и 100º.

      3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

      Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

      ∠AOD в 5 раз больше, чем ∠BOD

      При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD — смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

      Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

      Ответ: 30º и 150º.

      Могут ли смежные углы быть равными?

      Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

      угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

      Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

      Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

      Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

      Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

      Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

      В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

      Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

      Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.


      Обратите внимание, что:

      Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

      Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

      Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

      1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

      Пусть — внешний угол при вершине .

      Зная , найдем по формуле

      2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

      Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

      wiki.eduVdom.com

      Инструменты пользователя

      Инструменты сайта

      Боковая панель

      Геометрия:

      Контакты

      Содержание

      Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

      Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

      Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

      Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

      Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

      Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

      Теорема 2. Вертикальные углы равны.

      Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

      Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

      Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

      Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

      Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

      Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

      Справедлива следующая теорема.

      Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

      Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

      Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

      Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

      Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

      Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
      44° + х = 180°.
      Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

      Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

      Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
      ∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

      Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

      Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х . Тогда градусная мера большего угла будет Зх . Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
      Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

      Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

      Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
      ∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

      Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

      В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

      Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

      Смотрите так же:

      • Решит правила пдд Экзаменационные билеты ПДД 2018 онлайн На нашем сайте Вы можете решать онлайн новые экзаменационные билеты ПДД для сдачи экзамена на получение водительского удостоверения категорий «А», «В», «М» и подкатегорий «A1», «В1». Эти билеты ПДД полностью […]
      • Нод и нок правило Нод и нок правило Наибольший общий делитель. Наибольший общий делитель – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b. Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из […]
      • Система управления движения судов Система управления движением судов Система управления движением судов - призваны снизить аварийность в зоне ответственности и предупредить загрязнение водной среды, а также повысить технико-эксплуатационную эффективность работы флота и портов,позволяющих […]
      • Риторика заявление Инновационный курс риторики для школы авторского коллектива под руководством доктора наук профессора Т. А. Ладыженской предназначен для обучения успешному общению в современных условиях. Такая задача ранее не ставилась в рамках школьного образования. Т. А. […]
      • Копия жалобы в суд В___________________районный (городской) суд (наименование субъекта РФ) проживающего по адресу: инспектор ДПС _________________________________________ (ФИО и специальное звание инспектора, адрес отдела ГИБДД) на неправомерные действия инспектора ДПС […]
      • Патент на торговля запчастями Девять типичных ситуаций Разделы: Деятельность большинства ИП связана с розничной торговлей. Именно в этой сфере возникает множество типичных ситуаций и связанных с ними вопросов со стороны ИП. Рассмотрим основные. Ситуация 1. Особенности ведения бизнеса […]
      • Жалоба уфнс Жалоба на бездействие налоговой инспекции: образец Актуально на: 13 июля 2017 г. Жалоба на бездействие налогового органа (образец) Если плательщик считает, что налоговики бездействовали в то время, когда должны были действовать, и из-за этого нарушены его […]
      • Исчислить сумму единого налога Сумма единого налога - 2018, 1 и 2 группа Как рассчитать сумму единого налога на 2018 гoд? Сумма единого налога - 2018 для физлиц-предпринимателей 1 и 2 гpупп расcчитывается в процентах oт размера минимальной зарплаты и прожиточного минимума, установлeнных […]