Теория вероятности закон бернулли

Содержание:

Теория вероятности закон бернулли

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведе-
ние среднего арифметического случайных величин с произвольными распре-
делениями, ЗБЧ Бернулли—утверждение только для схемы Бернулли.

Т е о р е м а (ЗБЧ Бернулли). Пусть νn —число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Тогда При этом для любого ε > 0

или в эквивалентной форме

П р и м е р 1. Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Оценим
вероятность того, что число гербов отличается от 5000 менее, чем на 100.
Пусть νn —число гербов, выпавших в n = 10000 испытаниях. Нужно
оценить вероятность события.

Пример 2. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

Пример 3. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .

Пример 4. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве Р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .

Схема Бернулли. Примеры решения задач

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A , причем известна вероятность этого события P ( A ) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

  1. A — появление события A с вероятностью p;
  2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.
  3. Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A , которое возникает с одной и той же вероятностью p.

    Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

    Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

    Теорема Бернулли . Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

    где C n k — число сочетаний, q = 1 − p.

    Эта формула так и называется: формула Бернулли . Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

    Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

    По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A », т.е. выпуск бракованного изделия.

    Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

    Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные ( k = 0), что только одна деталь без брака ( k = 1), и что бракованных деталей нет вообще ( k = 10):

    Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

  4. герб выпадет три раза;
  5. герб выпадет один раз;
  6. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A , когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A », когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k , кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P 6(2) + P 6(3) + . + P 6(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P 6(0) − P 6(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз ( k = 1) или не выпал вообще ( k = 0). Поскольку P 6(1) нам уже известно, осталось найти P 6(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора ( k = 2) и три ( k = 3):

Очевидно, P 20(3) > P 20(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P . S . А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

1. Случайная величина (СВ) и вероятность события.

2. Закон распределения СВ.

3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).

4. Распределение Пуассона.

5. Нормальное (гауссовское) распределение.

6. Равномерное распределение.

7. Распределение Стьюдента.

2.1 Случайная величина и вероятность события

Математическая статистика тесно связана с другой математической наукой – теорией вероятности и базируется на ее математическом аппарате.

Теория вероятности – это наука, которая изучает закономерности, порожденные случайными событиями.

Педагогические явления относятся к числу массовых: они охватывают большие совокупности людей, повторяются из года в год, совершаются непрерывно. Показатели (параметры, результаты) педагогического процесса имеют вероятностный характер: одно и то же педагогическое воздействие может приводить к различным следствиям (случайные события, случайным величинам). Тем не менее, при многократном воспроизведении условий определенные следствия появляются чаще других, — это и есть проявление так называемых статистических закономерностей (изучением которых занимаются теория вероятностей и математическая статистика).

Случайная величина (СВ) – это численная характеристика, измеряемая по ходу опыта и зависящая от случайного исхода. СВ реализуемая по ходу опыта и сама является случайной. Каждая СВ задает распределение вероятностей.

Основным свойством педагогических процессов, явлений служит их вероятностный характер (при данных условиях они могут произойти, реализоваться, но могут и не произойти). Для таких явлений существенную роль играет понятие вероятности.

Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата. Вероятность невозможного события равна нулю p = 0, достоверного — единице p = 1 (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1, в зависимости от того, насколько это событие случайно.

Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события f(A) — как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений. Частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события, но и от числа (количества) наблюдений за этой СВ.

Существует два вида выборок СВ: зависимые и независимые. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми. В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на результаты другой выборки, выборки считают зависимыми. Классический способ получения зависимых измерений – это двукратное измерение одного и того же свойства (или разных свойств) у членов одной и той же группы.

Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло или нет событие В. События А и В независимы, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). На практике независимость события устанавливается из условий опыта, интуиции исследователя и практики.

СВ бывает дискретной (мы можем пронумеровать ее возможные значения), например, выпадение игральной кости = 4, 6, 2, и непрерывной (ее функция распределения F(x) – непрерывна), например, время службы лампочки.

Математическое ожидание – числовая характеристика СВ, приближенно равная среднему значению СВ:

2.2 Закон распределения СВ

Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.

Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.

Закон распределения СВ — это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).

Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения.

Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто–то уже сделал или сделает это до вас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

Конечно же, для каждого из «классических» распределений уже давно эта работа проделана ­– широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.

Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

Сегодня положение изменилось – нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам. Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.

Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знаний – таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п.

2.3 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.

Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

Формулу (1) называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.

2.4 Распределение Пуассона

Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т.

Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит

2.5 Нормальное (гауссовское) распределение

Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нор­мальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с ра­ботой по теории ошибок наблюдений.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра

Нормальное распределение с параметрами

Для μ=0, σ=1 график принимает вид:

Эта кривая при μ=0, σ=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой.

Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, что не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.

2.6 Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

где N – количество возможных значений СВ.

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

2.7 Распределение Стьюдента

Это распределение связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:

Теорема Бернулли Закон распределения Пуассона Критерий Колмогорова (стр. 1 из 2)

Московский Государственный Авиационный

«Теорема Бернулли. Закон распределения Пуассона. Критерий Колмогорова»

Задание 1. Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи

Теорема утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее — сходится по вероятности) к вероятности этого события. Она устанавливает факт сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к постоянным, не случайным величинам.

Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.

Вероятность того, что в n независимых испытаний, в которых вероятность появления события равна р(0 2 /2!)

Это распределение зависит от одного параметра а, на рисунке 1 показан вид распределения Пуассона при различных а.

Математическое ожидание данного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а:

Это свойство применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опыта статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то гипотеза является правдоподобной.

Дискетной называется случайная величина возможные значения которой есть отдельные изолированные числа(т.е. между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Текстпрограммы:

Const a = 2.0; d = 8; n = 500; k = d+1; Lkr = 1.2;

Top = 68; Left = 45; Width = 550; Height = 340; Ny = 14;

Type Real = Extended;

Var GrDriver, GrMode, X1, Y1, X2, Y2 : Integer;

i, j, w : Word; SumS, SumA, Ran, Dk, Kol : Real;

Xmin, Xmax, Ry, Mx, Dx, Rx, Sx, Ex, Sk, h : Real;

HZoom, VZoom, Lx, Ly : Real; Txt : String[20];

S, AL, AY, Y : Array[0..d] Of Real;

X : Array[1..n] Of Byte;

Procedure Bue; Far;

AssignCrt(Output); Rewrite(Output); CloseGraph;

Window(1, 1, 80, 25); ClrScr;

WriteLn (‘Programed by Yuri Melnikov RD-2’);

WriteLn (‘All rights reserved. (c) 2004.’);

WriteLn (‘Thanks for attention.’);

Var TextAtt, i : Byte;

Delay(1000); While KeyPressed Do ReadKey;

TextAtt := TextAttr; TextColor(7);

GoToXY(1, 25); For i := 1 To 5 Do WriteLn;

Write(‘ Press any key to continue or to exit. ‘);

Repeat Until KeyPressed; If ReadKey = #27 Then Halt;

TextAttr := TextAtt; GoToXY(1, 1); ClearDevice;

Function Pwr(x, p: Real) : Real;

If x > 0 Then Pwr := exp(p*ln(x))

Function Fact(x : Word) : Real;

Var i : Word; F : Real;

If x > 0 Then For i := 1 To x Do F := F * i;

Function f(m : Word) : Real;

If m >= 0 Then f := Pwr(a, m)*exp(-a) / Fact(m)

Assign(Output, »); Rewrite(Output); Randomize; ExitProc := @Bue;

DetectGraph(GrDriver, GrMode); InitGraph(GrDriver, GrMode, ‘BGI’);

S[i] := f(i); SumS := SumS + S[i];

For i := 0 To d Do Begin al[i] := 0;

For j := 0 To i Do al[i] := al[i] + S[j] / SumS;

For w := 1 To n Do Begin

For i := 0 To d Do Begin

If al[i] > Ran Then Begin

End; WriteLn; Write(‘ Смоделирована ‘);

WriteLn(‘последовательность случайных чисел (з. Пуассона):’);

35. Теорема Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли и его значение.

Если вероятность наступления события А в каждом из n повторных нез-х испыт-й постоянна, то при неогран-м увел-ии числа n исп-й отн-я частота наступленияя события А стрем-ся по вер-ти к числу p, т.е.

Теорема Бернули явл-ся теоретическимм обосн-ем для статистического опр-я вер-ти.

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А)

Теория вероятности: формулы и примеры решения задач

«Случайности не случайны». Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является «событие». События бывают трех видов:

  • Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
  • Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
  • Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.
  • Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

  • А = «студенты пришли на лекцию».
  • Ā = «студенты не пришли на лекцию».
  • В практических заданиях события принято записывать словами.

    Одна из важнейших характеристик событий — их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

    Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

  • А = «студентка пришла на лекцию».
  • В = «студент пришел на лекцию».
  • Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

    Действия над событиями

    События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

    Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

    Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

    Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

    Задание 1: Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

  • А = «фирма получит первый контракт».
  • А1 = «фирма не получит первый контракт».
  • В = «фирма получит второй контракт».
  • В1 = «фирма не получит второй контракт»
  • С = «фирма получит третий контракт».
  • С1 = «фирма не получит третий контракт».
  • С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

  • К = «фирма получит все контракты».
  • В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

  • М = «фирма не получит ни одного контракта».
  • Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

    А1ВС1 – это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

    Собственно, вероятность

    Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события – это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

    • классическое;
    • статистическое;
    • геометрическое.
    • Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

    • Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.
    • Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

      А – собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А1.

      m – количество возможных благоприятных случаев.

      n – все события, которые могут произойти.

      Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

      В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

      К высшей математике

      Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

      Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого — со статистического (или частотного) определения вероятности.

      Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить Wn(A). Формула ничем не отличается от классической:

      Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая – согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

      Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

      А = «появление качественного товара».

      Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

      Немного о комбинаторике

      Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В — n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

      Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

      Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

      Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт – это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

      То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

      В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

      Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n — это все элементы, m – элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

      Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Рn = n!

      Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

      Формула Бернулли

      В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов — формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

      Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

      Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица – это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q – число, которое обозначает возможность ненаступления события.

      Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

      Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

      Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

      А = «посетитель совершит покупку».

      В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

      n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

      P6(0) = C0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

      Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

      Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

      После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

      Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

      P6(2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

      Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

      Формула Пуассона

      Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

      При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

      Задание 3: На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

      Как видим, брак — это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

      А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

      р = 0,0001 (согласно условию задания).

      n = 100000 (количество деталей).

      m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

      Р100000(5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

      Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

      Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

      Теорема Муавра-Лапласа

      Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

      Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

      Задание 4: Рекламный агент раздает 800 листовок. Согласно статистическим исследованиям, каждая третья листовка находит своего потребителя. Какова вероятность того, что сработает ровно 267 рекламных листовок?

      Сначала найдем Xm, подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

      Р800(267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

      Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

      Формула Байеса

      Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

      Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

      А и В являются определенными событиями.

      Р(А|B) – условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

      Р (В|А) – условная вероятность события В.

      Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» — формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

      Задание 5: На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором – 60%, на третьем – 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй – 4%, и у третьей – 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

      А = «случайно взятый телефон».

      В1 – телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В2 и В3 (для второй и третьей фабрик).

      В итоге получим:

      Р (В1) = 25%/100% = 0,25; Р(В2) = 0,6; Р (В3) = 0,15 – таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

      Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

      Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

      Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

      В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

      Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности (стр. 1 из 3)

      Приднестровский государственный университет им.Т.Г.Шевченко

      КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

      на тему: «Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности»

      студент 303 группы

      Проверил: зав. кафедрой

      2. Формула Бернулли

      3. Локальная формула Муавра-Лапласа

      4. Формула Пуассона

      5. Теорема Бернулли о частоте вероятности

      При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых одно и то же испытание повторяется неоднократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас не интересует результат каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, не интересует результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены. Они решаются весьма просто в случае, когда испытания являются независимыми.

      Определение. Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

      Например, несколько бросаний монеты представляют собой независимые испытания.

      2. Формула Бернулли

      Пусть произведено два испытания(n=2). В результате возможно наступление одного из следующих событий:

      Соответствующие вероятности данных событий такие:

      Пусть теперь n=3. Тогда возможно наступление одного из следующих вариантов событий:

      Соответствующие вероятности равны

      Очевидно, что полученные результаты при n=2 и n=3 являются элементами

      Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в наступлении события А m раз

      Необходимо найти число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а

      Последняя формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения

      Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не слишком велико.

      №1 . Бросается монета 7 раз. Найти вероятность наступления орла три раза.

      №2. Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

      Решение. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли

      №3. Моторы многомоторного самолёта выходят из строя во время полёта независимо один от другого с вероятностью р. Многомоторный самолёт продолжает лететь, если работает не менее половины его моторов. При каких значениях р двухмоторный самолёт надёжней четырёхмоторного самолёта?

      Решение. Двухмоторный самолёт терпит аварию, если отказывают оба его мотора. Это происходит с вероятностью р 2 . Четырёхмоторный самолёт терпит аварию, если выходят из строя все 4 мотора а это происходит с вероятностью р 4 , либо выходят из строя три мотора из 4-х. Вероятность последнего события вычисляется по формуле Бернулли:

      Это неравенство сводится к неравенству (3р–1)(р–1) 1/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превышала одну треть, сама идея использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной.

      №4. Бригада из десяти человек идёт обедать. Имеются две одинаковые столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в любую из этих столовых. Если в одну из столовых случайно придёт больше посетителей, чем в ней имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15?

      Решение. Решение задачи придётся искать перебором возможных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачи следует, что каждый член бригады выбирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2) 10 =1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, вероятность этого события уже вычислена, или 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет другую столовую. Вероятность этого события рассчитывается с помощью формулы Бернулли

      Смотрите так же:

      • Памятка по правилам поведения в театре Правила поведения в театре. Этикет для мужчин Театр начинается с вешалки 1. Войдя в театр, проводите свою даму в гардероб После того, как вы открыли солидную дверь солидного театра и пропустили вперед даму, не нервничайте. Гардероб долго искать не […]
      • Расписка за часть денег Образец расписки в получении денежных средств за квартиру Большие деньги, суммы, которые вращаются при купле-продаже недвижимости нужно строго фиксировать в нескольких документах, чтобы обе стороны были уверенны в честности сделки. Многие от радости […]
      • Нужна семья с проживанием Нужна няня с проживанием в семье Требуется няня с проживанием к ребёнку 2 мес. Предоставляется отдельная комната и питание за счёт семьи. Работа в Киеве, ул. Ахматова, с пн-пт, З/п 19000грн/мес. Уход и развитие ребёнка, кормление, прогулки. Категории […]
      • Лица без гражданства рк Вы можете вернуться обратно, или перейти на главную страницу и воспользоваться поиском. На русском языке: 118144 Дата обновления: 22.08.2018 Пользовательское соглашение Часто задаваемые вопросы Последние документы Страница не найдена Извините, […]
      • Негаторный иск в гк Статья 304. Защита прав собственника от нарушений, не связанных с лишением владения Собственник может требовать устранения всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения и не были соединены с лишением владения. 1. Иск о прекращении действий, не связанных […]
      • Прибавка пенсии в 2018 году индексация Индексация пенсий работающим и неработающим пенсионерам в 2018-2019 году: прибавка и перерасчет с 1 августа, влияние на это пенсионного возраста На волне пенсионной реформы, которая значительно изменит жизнь будущих и нынешних пенсионеров, никто не забывает […]
      • Неустойка 40 фз ВС РФ обновил разъяснения по ОСАГО Особенности применения судами законодательства об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств уже разъяснялись Верховным Судом Российской Федерации – в Постановлении Пленума от 29 […]
      • Клевета в магазине Грань между пониманием морального и правового противоправного действия очень тонкая. Поэтому клевета как форма преступления зачастую остаётся безнаказанной и является инструментом манипулирования в руках бесчестных людей, в отношении лиц, к которым они […]