Тетраэдр правило

ТЕТРАЭДР — четырехгранник или треугольная пирамида. Правильный Т. — правильный четырехгранник, т. е. один из пяти типов правильных многогранников (Платоновы тела), имеющий 4 треугольные грани, 4 вершины и 6 ребер. Правильный тетраэдр в отличие от других правильных многогранников не имеет центра симметрии. Однако правильный Т. имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через его ребро и середину другого ребра, скрещивающегося с первым. Правильный Т. легко получить из куба, если из любой его вершины провести три диагонали граней куба и соединить точки между собой отрезками.

Правильный Т., как и вообще любой Т., согласно теореме Польке — Шварца можно изображать в виде произвольного выпуклого четырехугольника с его диагоналями. Т. двойствен (дуален) сам себе.

В любой Т. можно вписать сферу и вокруг любого Т. можно описать сферу. Т. — симплекс трехмерного пространства.

Греч. — четыре, — грань, основание.

Построение сечений тетраэдра. 10-й класс

Разделы: Математика

Цели урока: (Приложение 1, слайды 1-2)

  • научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
  • научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
  • освоить методы построения этих сечений
  • формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
  • создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.
  • Тип урока: Формирование новых знаний.

    Ход урока

    I. Организационный момент

    II. Актуализация знаний учащихся

    Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

    Слово учителя

    Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

    На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

    Актуализация опорных понятий

  • Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
  • Второе правило. Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
  • Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
  • Пятое правило. Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A1 и B1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A1B1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A1B1. Если же прямые АВ и A1B1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).
  • III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

    Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

    Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

    Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

  • КМ = α ∩ АДС
  • МЕ = α ∩ ВДС
  • Х = КМ ∩ АС
  • Р = ХЕ ∩ АВ
  • РЕ = α ∩ АВС
  • КР = α ∩ АДВ
  • КМЕР – искомое сечение
  • Задача 2. (слайд 5)

    Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

    Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М1, N→А. Находим пересечение прямых NM и AM1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ1. Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

  • М → М1 N → А
  • Х = NМ ∩ АМ1
  • L = КХ ∩ ВС
  • H = КХ ∩ АВ
  • НL = α ∩ АВC, К є НL
  • НN = α ∩ АВД,
  • LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
  • NQ = α ∩ АДС
  • HNQL – искомое сечение
  • IV. Закрепление знаний

    Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16)

    Решение задачи с последующей проверкой

    Задача 3. (слайд 6)

    Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

  • 1. М → М1 , N → N1
  • Х = NМ ∩ N1М1
  • R = КХ ∩ АВ
  • RL = α ∩ АВД, М є RL
  • КР = α ∩ ВДС, N є КР
  • LP = α ∩ АДС
  • RLPK – искомое сечение
  • V. Самостоятельная работа (по вариантам)

    Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.

  • КМ = α ∩ АВД,
  • МN = α ∩ АВС,
  • КN = α ∩ АДС
  • KMN – искомое сечение
  • (Проверка по гиперссылке на Приложение 2)

    Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

  • MN = α ∩ АВД
  • NK = α ∩ ВДС
  • Х = NК ∩ ВС
  • Р = АС ∩ МХ
  • РК = α ∩ АДС
  • MNKP – искомое сечение
  • Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

    1. KN = α ∩ ДВС
    2. Х = КN ∩ ВС
    3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
    4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
    5. PN = α ∩ АДС
    6. ТР N K – искомое сечение
    7. VI. Итог урока.

      Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

      VII. Домашнее задание.

      Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).

      Егэ-тренер. Подготовка 2018-2019 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

      14(C2). Сечение тетраэдра по трём точкам

      Построить сечение тетраэдра SАВС через три точки K, M, N, лежащие соответственно на рёбрах АС, SC и SB. Построим сечение методом следов. 1) Так как точки M и N лежат в правой грани, есть смысл их соединить и пересечь прямую MN с прямой СВ, лежащей в той же грани. Прямые пересекаются в точке Х, которая одновременно лежит и в правой грани, и в нижней. Само собой, эта точка лежит и в плоскости сечения. 2) Находясь теперь в нижней грани, пересечём прямые КХ и АВ. Получившаяся точка L лежит как в нижней, так и в левой гранях тетраэдра. Разумеется, она тоже является точкой сечения. 3) Соединим теперь точки N и L в левой грани, а также точки К и М в задней грани. Получившийся четырёхугольник KLNM и есть искомое сечение.

      Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 47541

      Комментарии к этой задаче:

      Комментарий добавил(а): Виктория
      Дата: 2014-11-23

      Спасибо, очень помогли, построила в два счета

      Урок по теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

      Презентация к уроку

      Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

      Цели урока:

    8. научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;
    9. формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
    10. развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.
    11. Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

      Тип урока: урок изучения нового материала.

      Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

      I. Организационный момент.

      Учитель сообщает тему и цель урока (слайд 1).

      II. Актуализация знаний.

      Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.

      (Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды 2-3).

      Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

    12. Что называется секущей плоскостью (слайд 4)? (Обучающиеся дают определение.)
    13. Что называется сечением многогранника (слайд 5)? (Формулируется определение.)
    14. Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?
      Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)
    15. Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

    Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»

    (Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)

    (Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6–7.)

    Учитель: Давайте повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

    • Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.
    • Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.
    • При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.
    • Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.
    • Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.
    • Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9).

      Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.

      Итак, вашему вниманию предлагается первое задание: (слайд 10) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M, N, K. (В сечении получается треугольник, проверка — слайд 11.)

      Учитель: Рассмотрим вторую задачу: Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, если M ∈DC, N∈AD, K∈AB. (Слайд 12)

      (Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

      (Задача 3 – самостоятельная работа в группах (слайд 14). Проверка — слайд 15.)

      Задача 4: Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, где M и N – середины ребер AB и BC (слайд 16). (Проверка на слайде 17.)

      Учитель: Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

      (Демонстрируется слайд 18)

      Задача 5

      Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью MNK, если M∈AA1, N ∈BB1, K∈CC1. (Проверка на слайде 19).

      Задача 6: ( Слайд 20) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью PTO, если P, T,O принадлежат соответственно ребрам АA1, ВB1, СC1.

      (Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд 21).)

    • TO ∩ BC = M
    • TP ∩ AB = N
    • NM ∩ AD = L
    • NM ∩ CD = F
    • PL, FO
    • PTOFL – искомое сечение.
    • Задача 7: (слайд 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN, если K ∈ A1D1, N ∈BC , M ∈ AB.

      Решение: (слайд 23)

      MPKFEN – искомое сечение.

      Творческие задания (карточки по вариантам):

    • В правильной треугольной пирамиде SАВС через вершину С и середину ребра SА проведите сечение пирамиды, параллельное SB. На ребре АВ взята точка F так, что АF:FВ=3:1. Через точку F и середину ребра SС проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?
    • АB1С — сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Через точки Е, F, К, которые являются соответственно серединами ребер DD1, A1D1, D1C1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники ЕFК и АB1C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.
    • III. Итог урока.

      Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

      А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд 24):

    • «Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»
    • «Сегодня на уроке я научился….»
    • «Мне хочется, чтобы….»
    • «В этот урок я добавил(а) бы …»
    • (Выставление оценок за урок.)

      IV. Задание на дом.

      п.14 105, 106. (слайд 25)

      Дополнительное задание к 105: Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB, если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC.

      (Закончить выполнение творческого задания.)

      Тема 4. «Тетраэдр и параллелепипед».


      рис. 27

      АВС, DАС, DВС, DАВ — грани.
      отрезки DА, DВ, АВ и т.д. — рёбра.
      точки А, В, С и т.д. — вершины.

      Рёбра АD и ВС — противоположные.

      Считается АВС — основание, остальные грани — боковые.


      рис. 28

      все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда.

      Считается: АВСD и A1B1C1D1 — основания, остальные грани — боковые.

      1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
      2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    • Сечения. Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).
    • Задача 1. Точки М, N и Р лежат соответственно на рёбрах АВ, ВD и СD тетраэдра АВСD. Построить сечение тетраэдра плоскостью МNР. (рис. 30)


      рис. 30

      Задача 2. На рёбрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС. (рис. 31)


      рис. 31

      Примеры решения задач.

      Задача 1. Из точки А к плоскости проведены два отрезка АС и АВ = 9 см, точка D АВ, точка Е АС, DЕ || и АЕ/ЕС = 1/2. Найти отрезки АD и DВ.


      рис. 32

      1) Так как прямые АВ и АС пересекающиеся, то по следствию 2 из аксиом существует плоскость (АВС), пусть .

      2) По аксиоме 3 = ВС. По аксиоме 2 DЕ принадлежит , а т.к. DЕ||, то DЕ||ВС.

      3) По теореме Фалеса АЕ/ЕС = АD/DВ. Пусть АD = х и DВ = 9-х, тогда 1/2 = x/(9-х), 9-х = 2х, х=3, т.е. АD = 3 см, DВ = 9-3 = 6 (см).

      Ответ: АD = 3 см, DВ = 6 см.


      рис. 33

      Дано: DАВС — тетраэдр, A1, B1, C1 — середины рёбер АD, СD и ВD.

      Тетраэдр правило

      Треугольник (ТЕТРАЭДР) — Геометрия форм в аспекте эзотерики (часть 2)

      Тетраэдр — треугольник с треугольным основанием

      Усиливает все процессы в сознании человека – движение и силу.

      Но так же и усиливает огненные процессы в физическом теле, например, как воспалительные так и регенерации. Поэтому, влияние тетраэдра неоднозначно и должно происходить под постоянным контролем оператора.

      При влиянии на сознание происходит трансформация самого сознания. Оно становится более тонким и чистым. Это особенно заметно при воздействии звуком на пирамиду, в которую вливается сознание. Если у человека были заземленные помыслы, то они очищаются от отягощающих вибраций . возможен вариант очищения от деструктивных энергий, в результате которых, цвет энергии сознания становится чистым и сияющим, но при этом, не происходит трансформации на более высокую ступень. Все зависит от сферы интересов самого человека и его способности обобщать поступающую информацию.

      Таким образом, пирамида с треугольным основанием – усиливает сознание и перенаправляет его в более высокие сферы. По мере усиления своего сознания, человек приобретает возможность влияния на сознания других людей – вносить изменения в существующую программу и перенаправлять его в другое русло за счет изменения цели и сферы интересов

      При внедрении тетраэдра в физическое на тело, он способен усилить обновление клеток и органов, течение энергий в них. Это, разумеется омолодит организм, но для полного омоложения и выведения токсинов и болезнетворных бактерий необходимы дополнительные инструменты влияния, тетраэдра недостаточно. Болезнетворные элементы – элементы стихии огня! При работе с этим треугольником необходима осторожность т.к. при преобладании в организме воспалительных процессов, он может усилить и их. И вместо пользы, своими манн ипуляциями можем усугубить процесс.

      Пирамида с треугольным основанием – это движение энергии сверху вниз. Поэтому, все процессы в организме человека находящегося под воздействием пирамиды, будут вначале активировать верхние чакры и только по мере очищения первой сверху, будут спускаться во вторую, третью. Пирамида не способна очистить нижние чакры, но и тормозить процессы в них тоже не будет.

      Тетраэдр обладает сильным влиянием на кровь.

      © Центр эзотерики и оккультных наук ИндраГсиль

      Перепечатка статьи или ее фрагмента разрешена только с активной ссылкой на данный сайт

      N-мерный тетраэдр

      N-мерный тетраэдр — простейший возможный в N-мерном пространстве многогранник. Является обобщением для N-мерного пространства таких фигур, как треугольник и трёхмерный тетраэдр.

      Содержание

      Построение

      Как известно, через любые N точек можно провести (N–1)–плоскость и существуют множества из N+1 точек, через которые (N–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, N+1 – минимальное число точек в N–пространстве, которое не лежит в одной (N–1)–плоскости, и может служить вершинами N–многогранника.

      Простейший N–многогранник с количеством вершин N+1 называется N–тетраэдром по названию трёхмерного члена этого семейства. В литературе принято также название «симплекс». В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:

    • 0-тетраэдр (точка) – 1 вершина;
    • 1–тетраэдр (отрезок) – 2 вершины;
    • 2–тетраэдр (треугольник) – 3 вершины;
    • 3–тетраэдр (собственно тетраэдр) – 4 вершины.
    • Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:

      1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;

      2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного тетраэдра;

      3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина тетраэдра соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

      Описанная сфера

      Вокруг любого N-тетраэдра можно описать N-сферу.

      Для 1-тетраэдра это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-тетраэдром, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-тетраэдру ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

      Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

      Рассматривая общий случай, предположим, что существует (N–1)-сфера SN-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (N–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

      Построим N-сферу с центром в точке (0, 0, 0, . 0, hS) и радиусом R, причём

      Уравнение этой сферы

      Подставив в уравнение (1) xN = 0, получим уравнение (2). Таким образом, при любом hS сфера SN-1 является подмножеством сферы SN, а именно – её сечением плоскостью xN = 0.

      Предположим, что точка С имеет координаты (X1, X2, X3, . XN ). Преобразуем уравнение (2) к виду

      и подставим в него координаты точки С:

      Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

      откуда можно выразить параметр hS:

      Очевидно, что hS существует при любых RC, XN и r, кроме XN = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы SN–1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере SN c центром (0, 0, 0, . hS) будет лежать и сфера SN–1, и точка С. Таким образом, вокруг любых N+1 точек можно описать N–сферу, если N из этих точек лежат на одной (N–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (N–1)–плоскости.

      Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что N–сферу можно описать вокруг любых N+1 точек, если они не лежат в одной (N–1)–плоскости.

      Число граней N-тетраэдра

      Тетраэдр имеет N+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

      Поскольку все вершины тетраэдра соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин тетраэдра определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–тетраэдром. Тогда для тетраэдра число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора N+1 вершин.

      Обозначим символом К(L,N) число L–мерных граней в N–многограннике, тогда для N-тетраэдра

      где – число сочетаний из n по m.

      В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно N+1:

      Смотрите так же:

      • Материнский капитал в тимашевске О материнском капитале - КПК "Доверие" Ставропольский край Ставрополь Зеленокумск Кисловодск Михайловск Пятигорск Светлоград Краснодарский край Краснодар Тимашевск Поделись, поставив КЛАСС! Расскажи друзьям о наc. И они решат свои […]
      • Порядок расчета авансовых платежей по налогу на имущество в 2018 Налог на имущество 2018 Актуально на: 6 декабря 2017 г. Налог на имущество организаций является региональным налогом (ст. 14 НК РФ). Он устанавливается гл. 30 НК РФ и законами субъектов РФ и с момента введения является обязательным к уплате на территории […]
      • Приказ 20 пдк Приказ 20 пдк Ссылка не верна или страница была удалена Если Вы попали на эту страницу, перейдя по ссылке внутри нашего сайта, пожалуйста, сообщите нам неверный адрес. Для заказа бесплатной демонстрации возможностей информационно-правового обеспечения […]
      • Законы табачный торговли С июня продавать сигареты можно будет только в магазинах и павильонах На днях Президент РФ подписал так называемый антитабачный закон, которым вводятся довольно серьезные ограничения как для продавцов табачных изделий, так и для их потребителей. Закон […]
      • Правила святого валентина День святого Валентина (День всех влюбленных) 14 февраля во многих странах мира отмечается День святого Валентина (Valentine's Day) или День всех влюбленных. Считается, что День святого Валентина существует уже более 16 веков, но праздники Любви известны с […]
      • Пчеловодство и налоги Ульи: МК и Лежаки Порода пчёл: Карпатки Пчело-стаж: 3-7 лет Пчелосемей: 10-20 Регион нахождения пасеки: Россия, Краснодарский край Группа: full members Сообщений: 241 Загружено файлов: Скачано файлов: 8 Регистрация: 05.08.2009 Из: Армавир, Краснодарский […]
      • Отменить решение суда по новым обстоятельствам Статья 392 ГПК РФ. Основания для пересмотра судебных постановлений, вступивших в законную силу (по вновь открывшимся или новым обстоятельствам) 1. Судебные постановления, вступившие в законную силу, могут быть пересмотрены по вновь открывшимся или новым […]
      • Участие в приватизации несовершеннолетних Как приватизировать квартиру, если там прописано только пятеро несовершеннолетних детей? Здравствуйте. Хотела уточнить как приватизировать квартиру, если там прописано только пятеро несовершеннолетних детей. И больше никого. Их родители лишены родительских […]