Условные законы распределения условное математическое ожидание

Содержание:

§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Пусть (X, Y) — непрерывная двумерная случайная величина.

Условной плотностью (x) распределения составляющих X при данном значении Y = у называют отношение плотности совместного распределения f (x) системы (X,Y) к плотности распределения f2(y) составляющей Y:

. (*)

Подчеркнем, что отличие условной плотности φ(x) от безусловной плотности f1 (x) состоит в том, что функция φ(x) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y = у; функция же f1 (x) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении Х = x:

. (**)

Если известна плотность совместного распределения f (х, у), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (*) и (**) (см. § 12) по формулам:

, (***)

. (****)

Запишем формулы (*) и (**) в виде

, .

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

;

.

Пример. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей X при по формуле (***)

.

Так как=0 приx 2 +y 2 >r2, то =0 при .

Пользуясь формулой (****), аналогично найдем условную плотность составляющей Y:

.

§ 15. Условное математическое ожидание

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при Х=x (x — определенное возможное значение X) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

(*)

Для непрерывных величин

,

где — условная плотность случайной величиныYприX=x.

Условное математическое ожидание M (Y|x) есть функция отx:

которую называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины X и функция регрессии X на Y:

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана табл. 5.

Условные законы распределения. Математическое ожидание и дисперсии я случайных величин. Условное математическое ожидание

дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то

, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Дисперсией (рассеянием)случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D(X) = M (X – M(X))²

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:

Условный закон распределения, условное математическое ожидание (функция регрессии) как оптимальный прогноз. (25)

Условный закон распределения – это распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Понятие дифференциального закона распределения распространяется на несколько случайных переменных, например на (х,у). Пусть эти 2 переменные появляются в одном опыте с элементарными исходами вида

Где q – какое-то значение случайной переменной х, а r – какое-то значение случайной переменной у. Символом Рх,у(q,r) обозначим дифференциальный закон распределения пары (х,у). Так, если х и у – дискретные случайные переменные, то Рх,у(q,r)=P(x=q,y=r)

Поясним на примере.

Опыт заключается в бросании правильной игральной кости; пусть х – количество очков, выпадающее на верхней грани, у – количество очков, выпадающее на нижней грани. Возможные значения х обозначим i=1,2…,6; возможные значения у обозначим j=1,2. 6. Рассматривая кость, можно убедиться, что справедливо равенство х+у=7.

По этой причине дифференциальный закон распределения пары (х,у) имеет вид:

Закон распределения пары Px,y(q,r) и формула условной вероятности события p(В/А)=NAB/NA служат основой понятия условного закона распределения случайной переменной.

Функцией регрессии у на х – эта функция обозначается символом Е(у/х) – называется ожидаемое значение случайной переменной у, вычисленное при заданном значении переменной х, т.е.

Величина Е(у/х) является функцией аргумента х. Эта функция позволяет представить случайную переменную у в виде у=Е(у/х)+u, где u – случайная переменная (остаток), такая, что Е(u/x)=0.

Разложение случайной переменной у с таким свойством именуется регрессионным анализом переменной у. Функция регрессии Е(у/х) интерпретируется в эконометрике как выраженный математическим языком экономический закон, по которому изменяется объясняемая (эндогенная) переменная у в ответ на изменения объясняющей (экзогенной) переменной х. В силу свойства дисперсии средний квадрат разброса значений переменной у вокруг величины Е(у/х) оказывается минимальным, при каждом значении переменной х:

Минимум здесь берется по всем возможным функциям f(x). В силу данного свойства функция регрессии Е(у/х) является оптимальным алгоритмом прогнозирования значений переменной у по значениям переменной х:

Условные законы распределения составляющих системы

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Условным законом распределения одной из составляющих двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая принимает определенное значение или попадает в определенный интеграл.

Введем теперь по отдельности определения условного закона распределения для составляющей $X$ и для составляющей $Y$.

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ — дискретная двумерная случайная величина.

Условным распределением составляющей $X$ при $Y=y$ называется совокупность условных вероятностей $p\left(x_1,y\right),\ p\left(x_2,y\right). p\left(x_n,y\right)$ при условии, что событие $Y=y$ уже произошло.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, то условная составляющая $X$ представляется в виде

Условным распределением составляющей $Y$ при $X=x$ называется совокупность условных вероятностей $p\left(x,y_1\right),\ p\left(x,y_2\right). p\left(x,y_m\right)$ при условии, что событие $X=x$ уже произошло.

Условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ — непрерывная двумерная случайная величина.

Напомним, что для непрерывной случайной величины существует понятие плотности распределения случайной величины.

Условной плотностью $\varphi (x/y)$ распределения составляющей $X$ при $Y=y$ называется отношение плотности $\varphi (x,y)$ двумерной случайной величины $(X,Y)$ к плотности распределения $\varphi (y)$ при условии, что составляющая $Y$ приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть

Условной плотностью $\varphi (y/x)$ распределения составляющей $Y$ при $X=x$ называется отношение плотности $\varphi (x,y)$ двумерной случайной величины $(X,Y)$ к плотности распределения $\varphi (x)$ при условии, что составляющая $X$ приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Приведем еще две формулы для вычисления условных плотностей распределения. Если известна плотность совместного распределения, то условные плотности по составляющей $X$ и по составляющей $Y$ можно найти по формулам:

Введем несколько свойств для функций условной плотности распределения.

Свойство 1: Функции условной плотности распределения неотрицательны на всей области определения, то есть:

Свойство 2: Выполняются следующие равенства:

Условное математическое ожидание

Введем формулы для вычисления условных математических ожиданий для различных случаев.

  1. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $Y$ при $X=x$:
  • Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ при $Y=y$:
    1. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $Y$ при $X=x$:
    2. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ при $Y=y$:
    3. Условное математическое ожидание $M(Y/X)$ называется функцией регрессии $X$ на $Y$.

      Условное математическое ожидание $M(X/Y)$ называется функцией регрессии $Y$ на $X$.

      Пример задачи на условное распределение

      Распределение случайной величины задано таблицей.

      Найти для этой двумерной случайной величины условное распределение по составляющей $X$, если $Y=10$.

      Для нахождения условного распределения по составляющей $X$, будем использовать следующую формулу:

      Для начала необходимо найти ряд распределения случайной величины $Y$.

      С помощью простейших вычислений, получим:

      Получаем следующий ряд условного распределения по составляющей $X$:

      Так и не нашли ответ
      на свой вопрос?

      Просто напиши с чем тебе
      нужна помощь

      Решение. Вначале составим ряды распределения случайных величин X и Y

      Вначале составим ряды распределения случайных величин X и Y. Случайная величина X принимает значения –1; 0 и 1 с вероятностями 0,2=0+0,2; 0,3=0,1+0,2 и 0,5=0,4+0,1 соответственно. Таким образом, эта случайная величина имеет закон распределения

      Аналогично получаем закон распределения случайной величины Y:

      .

      Замечание.Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади этого прямоугольника при Δх0, Δу →0.

      Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле: .

      Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности должен быть равен единице:

      .

      По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины:

      , ,

      ,

      .

      Таким образом, зная совместный закон распределения, можно найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему. Но на практике чаще встречается обратная задача – найти совместный закон распределения по известным законам распределения случайных величин. В общем случае эта задача является неразрешимой, так как закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами. Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими. Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

      Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

      , .

      Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

      Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности:

      .

      Для непрерывных случайных величин: , где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x. Условное математическое ожидание M(Y/X=x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

      Пример.Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X=x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:

      Дата добавления: 2015-08-12 ; просмотров: 348 . Нарушение авторских прав

      Условные законы распределения непрерывных случайных величин, имеющих непрерывное совместное распределение. Условное математическое ожидание случайной величины. Сущность корреляции. Свойства ковариации. Нормальный закон распределения на плоскости.

      Соглашение об использовании материалов сайта

      Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
      Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

      Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

      Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

      Подобные документы

      Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

      Пространства элементарных событий. Совместные и несовместные события. Функция распределения системы случайных величин. Функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин. Условные плотности распределения.

      задача [45,4 K], добавлен 15.06.2012

      Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.

      лабораторная работа [52,3 K], добавлен 19.08.2002

      Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.

      курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013

      Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.

      практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012

      Условные законы распределения

      Размещено на http://www.allbest.ru/

      1. Условные законы распределения непрерывных случайных величин, имеющих непрерывное совместное распределение

      Пусть есть плотность совместного распределения двумерной случайной величины и -плотности составляющих и соответственно.

      Определение 1. Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что , называется функция

      Определение 2. Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что , называется функция

      Поэтому и тем самым . Аналогично, .

      есть плотности условных функций распределения и , соответственно.

      Определение 3. Функцию называют условной плотностью составляющей при условии, что , а функцию -условной плотностью составляющей при условии, что .

      Из этих определений получаем:

      т.е. плотность совместного распределения есть плотность распределения одной составляющей на условную плотность другой составляющей.

      Определение 4. Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , есть

      Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , есть

      Определение 5. Функция переменного называется регрессией по , а ее график -линией (кривой) регрессии по . Функция переменного называется регрессией по , а ее график-линией (кривой) регрессии по .

      Если случайные величины и независимы, то линия регрессии по параллельна оси а линия регрессии по -оси

      Определение 6. Условная дисперсия случайной величины при условии, что , есть

      Условная дисперсия случайной величины при условии, что , есть

      2. Зависимые и независимые случайные величины

      Пусть и непрерывные случайные величины, допускающие непрерывное совместное распределение с плотностью Мы говорим, что случайные величины и независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая:

      Теорема 1. 1) Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда

      2) Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда

      Доказательство. Допустим, что и независимы. Тогда имеет место равенство (1). Это означает, что

      Дифференцируя по получаем, что

      Таким образом, необходимость (4) доказана. Но тогда

      Таким образом, необходимость (3) доказана.

      Обратно, пусть имеет место (3). Тогда

      Дифференцируя последовательно по и , получаем (4) , откуда

      и тем самым Таким образом, мы доказали достаточность как (3), так и (4).

      Замечание 1. Как следует из доказательства, (1) влечет за собой (2) , а (2)-(1).

      3. Корреляционный момент и коэффициент корреляции

      Пусть двумерная случайная величина, составляющие которой и — случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию. Положим

      Определение 1. Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

      Для вычисления дискретных величин пользуются формулой

      а для непрерывных случайных величин-формулой

      Таким образом, для вычисления нужно знать совместное распределение и .

      5) Если случайные величины и независимы, то .

      Действительно, положим Тогда

      Ковариация величина размерная. Ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин и , т.е. величина зависит от того, в каких единицах были измерены и . Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику- коэффициент корреляции , который по определению есть

      Из 7) следует, что

      4. Коррелированность и зависимость случайных величин

      Определение 1. Случайные величины и называются коррелированными, если их корреляционный момент (или, что тоже самое, коэффициент корреляции) отличен от нуля; в противном случае, т.е. если случайные величины называются некоррелированными.

      Предложение 1. Две коррелированные случайные величины зависимы.

      Замечание 1. Обратное не верно. Действительно, пусть — дискретная случайная величина, ряд распределения которой есть

      Тогда закон распределения имеет вид

      Очевидно, Поэтому случайные величины и зависимы. Вместе с тем и тем самым , т.е. случайные величины и не коррелированны.

      5. Нормальный закон распределения на плоскости

      На практике часто встречаются двумерные случайные величины, совместное распределение которых нормально.

      Определение 1. Случайная величина называется распределенной по двумерному нормальному закону, если плотность совместного распределения есть

      Таким образом, нормальный закон распределения на плоскости определяется пятью параметрами: Вероятностный смысл этих параметров раскрыт в следующей теореме.

      Теорема 1. Составляющая имеет нормальное распределение с параметрами и . Составляющая имеем нормальное распределение с параметрами и . Коэффициент корреляции составляющих и равен .

      Теорема 2. Составляющие и независимы тогда и только тогда, когда они не коррелированны.

      6. Линейная среднеквадратическая регрессия. Прямые линии средне квадратической регрессии

      Пусть и две случайные величины, линейная функция случайного аргумента

      Определение 1. Функция называется наилучшим приближением в смысле метода наименьших квадратов, если принимает наименьшее значение.

      Другое название наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов-линейная среднеквадратическая регрессия на

      Теорема 1. Линейная среднеквадратическая регрессия на имеет вид

      Определение 2. Коэффициент называют коэффициентом регрессии на , а прямую прямой среднеквадратической регрессия на .

      Если то и тем самым Чем ближе к 1, тем меньше и тем самым меньше

      Аналогичным образом можно ввести понятие линейной среднеквадратической регрессии на коэффициента регрессии на и прямой среднеквадратической регрессии на . Уравнение прямой среднеквадратической регрессии на имеет вид

      Обе прямые среднеквадратической регрессии проходят через точку которая называется центром совместного распределения случайных величин

      и При обе прямые среднеквадратической регрессии совпадают.

      распределение корреляция ковариация

      7. Линейная корреляционная зависимость

      Определение 1. Если обе кривые регрессии на и на линейны, то говорят, что и связаны линейной корреляционной зависимостью.

      Теорема 1. Если двумерная случайная величина распределена нормально, то и связаны линейной корреляционной зависимостью. При этом линии регрессии совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии.

      1. Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

      2. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004.

      Размещено на Allbest.ru

      Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.

      презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015

      контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013

      События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.

      контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015

      Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.

      реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015

      Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.

      лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010

      Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.

      дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011

      Смотрите так же:

      • Правила оформления стп Форум Машиностроителей Оформление СТП ingenerkons 11 фев 2016 Коллеги а кто нибудь сталкивался с оформлением и созданием СТП. Есть ли какие документы регламентирующие правила и порядок. В частности возникла следующая задача есть довольно много однотипных […]
      • Пенсия по инвалидности 3 группа спб Пенсия по инвалидности 3 группы в 2018 году Те граждане, кто в силу состояния своего здоровья, не может боле трудиться по своей профессии, но способен выполнять другую, более простую работу либо работать по своей первоначальной специальности, но в […]
      • Порядок расчета авансовых платежей по налогу на имущество в 2018 Налог на имущество 2018 Актуально на: 6 декабря 2017 г. Налог на имущество организаций является региональным налогом (ст. 14 НК РФ). Он устанавливается гл. 30 НК РФ и законами субъектов РФ и с момента введения является обязательным к уплате на территории […]
      • Обязательство при увольнении Увольнение с отработкой 2 недели: как правильно считать сроки Когда сотрудник предприятия принимает решение уволиться, работодатель не вправе отказать ему. Если удается договориться, можно уйти с работы сразу. В противном случае придется потрудиться еще […]
      • Пособия для подростков Наиболее популярные работы для подростков Желание работать и зарабатывать у четырнадцатилетних детей — достойно похвалы. При этом необходимо учитывать некоторые нюансы. Ведь по закону заключить трудовой договор с подростком работодатель может при условии, […]
      • Штраф прописать ребенка Закон Онлайн — правовой ликбез Статистика Сообщение об ошибке Прописка ребенка: процедура, документы, сроки, штраф В настоящей статье рассмотрены следующие вопросы: с кем из родственников может быть прописан ребенок по законодательству Украины, права ребенка […]
      • Что там с пенсиями в 2018 году Новый закон о пенсиях 2018 года Не успели улечься страсти по обсуждению пенсионной реформы 2013-2015 гг, как на подходе новый закон о пенсиях 2018 года? Решение о повышении пенсионного возраста принято, о чем объявил Дмитрий Медведев 14 июня 2018 года, […]
      • Материнский капитал 215 215 заявлений на получение ежемесячной выплаты из средств материнского капитала подали жители Ставрополья С начала текущего года Правительство РФ расширило программу материнского капитала. У семей с низким доходом появилась возможность получать ежемесячные […]