Внесение множителя под знак корня правила

Внесение множителя под знак корня, правила, примеры, решения

Продолжаем разговор про преобразование иррациональных выражений. В этой статье мы остановимся на преобразовании, которое получило название внесение множителя под знак корня. Сначала разберем суть этого преобразования, после чего перейдем к теоретическим основам. Дальше запишем правила внесения множителя под знак корня. А в заключение рассмотрим решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Что называют внесением множителя под знак корня?

Сначала нужно четко представлять, что называют внесением множителя под знак корня. Дадим определение:

Внесением множителя под знак корня называют преобразование, при котором произведение вида , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, заменяется выражением вида или (в зависимости от того, какому из них тождественно равно исходное выражение).

Здесь заметим, что в школе первый разговор про внесение множителя под знак корня начинается после знакомства с квадратным корнем и его свойствами, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе [1, с. 92-93; 2, с. 72] . При этом приведенное определение стоит рассматривать при n=2 , то есть, для квадратных корней. А позже в старших классах вводятся корни n-ой степени, и разбирается внесение множителя уже под знак корня n-ой степени [3, с. 47] .

Основываясь на приведенном определении, несложно обосновать, почему рассматриваемое преобразование получило название «внесение множителя под знак корня»: в результате его проведения множитель B оказывается под знаком корня.

Из озвученного определения также понятно, что внесение множителя под знак корня проводится не с любыми выражениями, а с выражениями вполне конкретного вида — с произведениями некоторого числа или выражения и корня, под знаком которого находится некоторое число или выражение. Для наглядности приведем примеры таких выражений: , , и т.п. Выражения, получающиеся в результате этого преобразования, тоже имеют вполне определенный вид. Например, только что указанные выражения после внесения множителя под знак корня принимают вид , и соответственно (естественно, дальше эти выражения можно упростить, если есть такая возможность и в этом есть необходимость).

Теперь, когда мы знаем, что такое внесение множителя под знак корня, можно рассмотреть теорию, которая лежит в основе данного преобразования. Кстати, из нее станет ясно, в каких случаях выражение заменяется на , а в каких – на .

Необходимая теория

В статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней мы получили ряд результатов, два из которых лежат в основе внесения множителя под знак корня. Приведем их здесь:

Выражение A можно заменить выражением , если n — нечетное. Если же n – четное, то выражение A можно заменить выражением

  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A неотрицательно (давайте условимся вместо последней фразы использовать запись A≥0 ),
  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A отрицательно ( A 2 , 5·x 4 +3·y 2 ·z 2 +7 и т.п.), то внести множитель под знак корня позволяют преобразования такие .

Если показатель корня есть четное число и B есть отрицательное число или выражение, все значения которого, очевидно, неположительные (например, −2·x 2 , −(x 2 +y 2 +1) и т.п.), то внесение множителя под знак корня проводится так .

Наконец, если показатель корня четный и по виду выражения B сразу непонятно, какие значения оно принимает на ОДЗ, то чтобы внести множитель под знак корня, надо

решить неравенства B≥0 и B 2 +1 , которое мы собираемся внести под знак корня, принимает только положительные значения при любых значениях переменной x (сумма неотрицательного при любом значении переменной x числа x 2 и положительного числа 1 есть положительное число), поэтому

а) , б) , в) .

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Здесь показатель корня четный, а множитель, подлежащий внесению под знак корня, имеет отрицательное значение. Поэтому нам нужно действовать по третьему правилу из предыдущего пункта:

б) В этом случае показатель корня тоже четный. Несложно заметить, что выражение 2·(−3−y 2 ) может принимать лишь отрицательные значения (произведение положительного числа 2 и отрицательного при любом значении переменной y числа −3−y 2 есть отрицательное число). Поэтому

а) , б) .

Остается разобраться с внесением под знак корня с четным показателем выражений с переменными, которые могут принимать произвольные значения. Обычно при решении задач общего курса алгебры с этим преобразованием сталкиваться не приходится, необходимость его проведения сразу переводит задачу в ранг повышенной сложности.

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Это выражение мы также приводили в пример в первом пункте этой статьи. Сейчас мы увидим, как был получен приведенный там результат внесения множителя x−2 под знак корня.

В выражении корень имеет четный показатель 4 , а выражение x−2 может принимать различные значения (отрицательные, нуль, положительные). Поэтому, чтобы внести множитель x−2 под знак корня, придется действовать по последнему алгоритму из предыдущего пункта.

ОДЗ переменной x для этого выражения определяется условием 1−x≥0 . Чтобы определить при каких значениях переменной из ОДЗ выражение x−2 принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные, составляем и решаем две системы неравенств: и . Первая система неравенств не имеет решений. Это означает, что выражение x−2 не принимает неотрицательные значения ни при каких значениях x из ОДЗ. А решением второй системы является множество x≤1 . Это означает, что выражение x−2 принимает отрицательные значение при любом значении переменной x из множества x≤1 (которое в нашем случае совпадает с ОДЗ). Поэтому

б) В выражении показатель корня четный, а про значения выражения сложно сказать что-либо сразу. Поэтому будем выяснить, при каких значениях переменной из ОДЗ указанное выражение принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные. Для этого составляем две системы неравенств и , и находим их решения (первые неравенства этих систем можно решить методом интервалов, а второе – любым способом решения квадратных неравенств):

Таким образом, при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞) выражение принимает неотрицательные значения и

А при x∈(−6, −2]∪[1, 4) выражение принимает отрицательные значения и

При необходимости подкоренное выражение можно преобразовать в рациональную дробь.

а) ,
б) .

Остается сказать, что внесение числа под знак корня часто используется при сравнении значений выражений с корнями.

Также рекомендуем ознакомиться с материалом, который посвящен преобразованию противоположного смысла – вынесению множителя из-под знака корня.

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня»

1. Начать формировать умение учащихся выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня на простейших примерах.

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать вывод и обобщения.

3. Воспитывать интерес к предмету, культуру поведения, чувство ответственности.

Тип: изучение нового материала.

Форма: игровая, исследовательская работа (ознакомление с этапами исследовательской работы).

Оборудование: оформленная доска, эмблема, плакат с заданием, алгоритмы.

1. Организационный момент. Взаимное приветствие.

Сегодня наш класс отправляется в научно-исследовательскую экспедицию, которая называется “Радикал” (эмблема на доске).

— Ребята, а как вы думаете, почему экспедиция называется “радикал”?

В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом “Radix” — корень. Отсюда и произошел термин радикал, которым принято называть знак корня.

Девизом нашей экспедиции я взяла слова А.В.Суворова “Непреодолимого на свете ничего нет”.

Наша экспедиция создается для обнаружения новых незнакомых действий с корнями.

А теперь, ребята, давайте обратим внимание на этапы исследовательской работы:

1. Подготовительный этап.

2. Выдвижение гипотезы.

3. Проверка истинности гипотезы. Опора на ранее изученный материал.

4. Теоретическое обоснование.

5. Применение на практике.

6. Завершающий этап (подведение итога работы)

Мы с вами придерживаясь данных этапов на первом этапе нашей работы проверим теоретическую подготовку экспедиции.

2. Устно.

1) Какие из следующих равенств являются верными?

=5, — = — 6, = — 0,

=-4, = — 2, =3.

2) Представьте числа в виде произведения таких множителей, чтобы один из них являлся квадратом рационального числа.

3) Представьте числа в виде арифметического корня:

4) Вычислите значение выражения

= =

Продолжи ряд чисел:

, , , …

3. Изучение нового материала.

Большая часть участников экспедиции готова к научно-исследовательской работе. Ваша задача по поставленному мною вопросу сформулировать тему нашей научно-исследовательской работы.

Итак, ребята, перед нами практическая задача: Применим теорему о корне из произведения.

Как сравнить значения выражений?

и 4

а) Для применим теорему о корне из произведения.

б) представим произведение 4в виде арифметического квадратного корня.

Такие преобразования называют вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

А теперь давайте, ребята сформулируем тему над которой работает наша научно-исследовательская экспедиция и запишем в тетради.

Данная тема очень часто применяется для сравнения выражений и преобразовании выражений, содержащих квадратные корни.

Прежде чем приступить к данной теме на практике, давайте составим алгоритм вынесения множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

(Вывешивается последовательно на доску)

ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ

1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.

2) Применим теорему о корне из произведения.

3) Извлечь корень

Запишем данное преобразование и в буквенном виде:

Если а

ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ

1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.

2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений..

3) Выполним умножение под знаком корня.

Запишем данное преобразование в буквенном виде:

Если

4. А теперь ребята, давайте обратим внимание на этапы исследовательской работы и переходим к следующему этапу – применение наших исследований на практике.

б)(на доске и в тетрадях)

г)(прокомментировать с места)

е) (вернуться к устным упражнениям №2)

з)( вернуться к устным упражнениям №2)

2 ученика на крыльях доски

а)

б) =

№ 401 ( д, ж) — прокомментировать

№ 404 (в, г) (на доске и в тетрадях)

в) 5

г) 10

№ 404 (а, б) — 2 ученика на крыльях доски

а) 7

б) 6

5. Я считаю, что у вас хорошие результаты исследовательской работы и теперь каждый оценит себя сам при выполнении обучающего теста.

Вынести множитель из-под знака корня:

1) =

а) 3, б) 5, в)-5, г) -3.

2)

а) 6, б) –x, в) -6, г) x.

3) =

а) 6; б)6а; в)6а 2 ; г)-6а.

Внести множитель под знак корня:

4) 6=

а) , б) , в) —, г) .

5) 5=

а) , б) , в) —, г) .

Прав, ребята, был Александр Васильевич Суворов : непреодолимого на свете ничего нет.

Каждое правильно выполненное задание оценим в 1 балл. Кто набрал 3 балла? Более 3 баллов? Более 4 баллов? Оценки все кроме “2” в журнал, “3” по желанию.

Те, у кого были затруднения на перемене подойти к доске и просмотреть решения заданий.

6. Ребята наша исследовательская работа на сегодняшнем уроке не заканчивается. Поэтому дома продолжаете работу с п.17, обращаете особое внимание на примеры выражений, содержащих переменную перед радикалом и под радикалом. О результатах своих исследований сообщите на следующем уроке и не забывайте об этапах исследовательской работы. В дневниках записали: п.17 № 403, № 407.

7. За вашу сегодняшнюю работу предлагаю вам басню на размышление:

Мартышка – апельсинов продавщица,
Приехав как-то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Но сосчитать не в силах стройный ряд,
Разбрасывать их стала все подряд,
И молвила: “Что толку в той задаче,
Коль из неё не слепишь новой дачи!”
Мы верим всё же, что мартышки мненье —
Не истина для тех, кто знает толк в ученье.
И просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.

()

(?)

Указание: разобраться в закономерности чисел, расположенных в 1 строке и учитывая эту закономерность по аналогии вместо ? поставить выражение.

Извлечение корня

Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

    Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

, так как (+3) 3 =27

, так как (-3) 3 =-27

Корень чётной степени из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.

, так как (+3) 2 =+9 и (-3) 2 =+9

, так как (+4) 4 =+256 и (-4) 4 =+256

  • Корень чётной степени из отрицательного числа является невозможным выражением, потому что любое положительное или отрицательное число при возведении в чётную степень даёт только положительный результат. Таким образом – это невозможные выражения. Невозможные выражения иначе называют мнимыми.
  • Извлечение корня из произведения, степени и дроби

    Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

    Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

    Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

    Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

    Вынесение множителя из под знака корня

    Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

    Внесение множителя под корень

    Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

    Урок алгебры в 8-м классе по теме «Внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня»

    Разделы: Математика

    Цели урока:

    1. Выработать алгоритм внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня, повторить определение квадратного корня и арифметического квадратного корня.

    2. Способствовать развитию вычислительных навыков; умению ставить самооценку и взаимооценку, развитию наблюдательности.

    3. Побуждать учащихся к учебному сотрудничеству на уроке посредством работы в парах и группах, к самостоятельности и требовательности в достижении успехов.

    Учащиеся должны знать:

    — алгоритмы внесения множителя под знак корня;

    — алгоритм вынесения множителя из-под знака корня;

    — применение свойств квадратного корня к преобразованию выражений, содержащих квадратный корень.

    Учащиеся должны уметь:

    — вносить и выносить множитель из-под знака корня;

    — преобразовывать простые выражения, содержащие квадратные корни, на основе изученного материала.

    — пользоваться изученными алгоритмами в стандартной и измененной ситуациях;

    — применять знания при преобразовании выражений в более сложных ситуациях.

    — применять полученные знания при выполнении заданий в измененной ситуации.

    Ход урока

    Работа учащихся состоит из пяти этапов.

    Результаты каждого этапа ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

    Лист само и взаимооценки

    1, 2 и 3 задания (1 балл за все правильные ответы, минус 0,1 за каждый неправильный)

    4. (2 балла) 5. (3 балла)

    1. (по 1 б. за каждое правильное вычисление)

    2. (1 балл за все правильные ответы, минус0,1 за каждый неправильный)

    1 этап

    Вопросы учителя: Дайте определение квадратного корня из числа. Дайте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а, выражение а имеет смысл? Сформулируйте правило извлечения корня квадратного из четной степени.

    Диктант (учитель диктует задания, учащиеся письменно записывают ответы, двое работают на закрытых досках под контролем учителя):

    1. Найдите квадратные корни из числа: 16 /25; 64; 0; — 1 /25; 49.

    2. Найдите арифметический квадратный корень из числа: 16 /25; 64; 0; — 1 /25; 49.

    3. Сравните: и ; 7 и 50; 3 5 и 5 5; 20 и 2 20.

    4. При каких значениях а выполняется равенство (а) 2 = а?

    5. При каких значениях х верно х 2 = (х ) 2 ?

    Взаимопроверка, ответы на закрытой доске. Выяснение трудных заданий. Взаимооценка.

    2 этап

    Учащимся раздаются карточки с заданиями, работают самостоятельно, двое на закрытой доске.

    1) Вычисли: а) 900; б) 10• 40; в)2 8 ; г) 121а 4 .

    2) Представь так, чтобы один из множителей или каждый был во второй степени: 2 3 ; х 7 ; 81в 2 .

    1) Вычисли: а)8100; б) 45 •20; в) 3 6 ; г) 144в 6 .

    2) Представь так, чтобы один из множителей или каждый был во второй степени: 3 5 ; у 9 ; 36х 2 .

    Самопроверка и самооценка, работающие у доски отвечают на возникшие у класса, вопросы и объясняют свои решения.

    3 этап

    1. Изучение нового материала.

    Учитель ставит перед учениками проблему: как сравнить выражения 20 и 3 5?

    В парах идет обсуждение различных вариантов решения проблемы. Затем выслушиваем все возникшие варианты и формулируем алгоритм внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня. Учащиеся делают записи в тетрадях:

    20 = = 2 5, тогда 2 5 20 .

    Далее идет совместная работа учителя и учащихся по рассмотрению различных случаев.

    1) примеры вынесения буквенного множителя из – под знака корня в выражениях: 12; 200; 0,2 75; — 1 /3 450; в 9 ; 48х 2 , где х 0.

    2) примеры внесение множителя под знак корня в выражениях: 5 3; 6 х /6; — 1 /32у; а3.

    В последнем выражении рассматривается два случая: а 0 и а 0.

    3) примеры преобразования выражений: 48 + 75 — 108.

    4 этап.

    Цель: проверка уровня обучаемости (как только первые три, четыре человека сделают, то все сразу должны сдать). Выполняется под капирку или ответы записываются на отдельном листе. Ключ к оценке: 1 уровень, если правильно выполнены или близки к выполнению 1 и 2 задания. 2 уровень, если правильно выполнены или близки к выполнению 1, 2 и 3 задания. 3 уровень, если выполнены или близки к выполнению все задания.

    1) Внеси множитель под знак корня: а) 5 7; б) — 3 а.

    2) Вынеси множитель из-под знака корня: а) 700 б) 1 /3 45; в) 7а 2 , а 0.

    3) Представь в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного: а) – а 0,3.

    4) Расположи в порядке возрастания: 30; 3 3; 2 5; 5 2.

    5) Упрости выражение: 22 + 50 — 98.

    1) Внеси множитель под знак корня: а) 6 10; б) — 5 х.

    2) Вынеси множитель из-под знака корня: а) 300 б) 1 /2 24; в) 10у 2 , у 0.

    3) Представь в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного: а) — а 0,2.

    4) Расположи в порядке возрастания: 29; 3 3; 2 6; 4 2.

    5) Упрости выражение: 103 — 448 — 75.

    После выполнения заданий происходит самооценка, ученики по карточкам проверяют ответы и решения, результаты заносят в лист самооценки.

    Коррекция знаний, после выяснения трудных мест. Учитель объясняет материал с учетом зоны ближайшего развития ученика.

    Отработка материала, работа в группах разного уровня по принципу “вертушка” (каждое последующее задание выполняется следующим учеником, начинать может либо слабый либо сильный ученик). Любое задание объясняется вслух учеником и контролируется группой. Работай по принципу: “Мы в одной лодке: или выплываем вместе, или утонем вместе”.

    1. Вынесите множитель из-под знака корня:

    а) 48; б) 150; в) 2 /3 27; г) – 1 /399; д)3х 6 , где х 0.

    2. Внесите множитель под знак корня: а) 73; б) — 42; в)23у;

    3. Сравните: 1 /2 12 и 1 /3 45. 4. Упростите выражение: 6 3 + 27.

    5 этап.

    1 уровень

    2 уровень

    а) 98 = 49 •2 = 49 • 2 = …;

    б) 700 = 100 •7 = …;

    в) 125 = …;

    г) — 398 = … (4 балла)

    2. Закончите внесение множителя под знак корня

    а)7 3 = 49 •3 =…;

    б) – 4 2 = — 16 • 2 =. . . ;

    в) 3а = …;

    г) 6 1 /3 = … (4 балла)

    3. Вынесите множитель и упростите выражение: 63 +27 – 3 75. (3 балла)

    4. Сравните:0,5 12 и 1 /327. (3 балла)

    а) 90;

    б) 150;

    в) — 2 /7 4900;

    г)7а 2 , а 0. (4 балла)

    2. Внесите множитель под знак корня:

    а)12а;

    б)вв 3 ;

    в) –а 2а;

    г) 0,1сс 5 .

    3. Упростите выражение:

    2 /7 98 – 1 /3 18 – 128. (4 балла)

    4. Расположите в порядке возрастания:

    — 2 2; — 0,5 6; 3 10; 1 /2 24; 0,5 72.

    Рекомендации по оценке результатов урока:

    Смотрите так же:

    • Выдача инновационного патента Заявление о выдаче инновационного патента Республики Казахстан на изобретение Форма ИЗ-1 И.П. Приложение1 к Инструкции по составлению, оформлению и рассмотрению заявки на выдачу инновационного патента или патента на изобретение (86) регистрационный номер […]
    • Необходимое разрешение для печати Как оценить качество изображения для печати и что такое разрешение? Многие из вас, возможно, сталкивались с ситуацией, когда дергаешь понравившуюся картинку с какого-нибудь сайта, пытаешься распечатать хотя бы на А4, при этом качество печати получается […]
    • Саженцы правила посадки Правила посадки саженцев Здравствуйте, уважаемые друзья! Разберем сегодня правила посадки саженцев на садовом участке. 1. Очень важно перед посадкой не допустить подсыхания корневой системы саженца. Рекомендуется за 1 — 2 суток до начала посадки поместить […]
    • Заявление на простой по вине работодателя образец Как оформить вынужденный простой по вине работодателя? Вынужденный простой по вине работодателя – это приостановка работы сотрудника на определенный период времени, вызванная ошибкой его начальника. Данная мера необходима для сохранения рабочего места […]
    • Развод раздел муниципальной квартиры Вопрос по поводу раздела муниципальной квартиры при разводе. Я поживаю с родителями и 2мя своими детьми в 2комнатной муниципальной квартире. Родители в разводе. С отцом стало невыносимо жить,поэтому хочу подать на раздел имущества через суд. Что мне […]
    • Какой налог на 400 лС сколько будет стоить налог на 300 лошадей в год? около 50 зависит от места проживания машинки Наименование объекта налогообложения Налоговая ставка (в рублях) Автомобили легковые с мощностью двигателя (с каждой лошадиной силы) : - до 100 л. с. (до 73,55 кВт) […]
    • Закон ома решения задач Примеры решения задач по теме «Закон Ома. Последовательное и параллельное соединения проводников» «Физика - 10 класс» При решении задач на применение закона Ома необходимо учитывать, что при последовательном соединении проводников сила тока во всех […]
    • Материнский капитал в какой срок оформлять Сроки оформления и получения материнского капитала в 2018 году Многих семейных людей сегодня интересуют сроки оформления и получения материнского капитала. Но правительство все чаще говорит о возможной заморозке или прекращении действия программы. Такие […]