Закон ома в дифференциальной форме для однородного

Главная > Лекция >Физика

Тема: Закон Ома в дифференциальной форме

1. Постоянный электрический ток, его характеристики и условия существования.

;

2. Классическая электронная теория электропроводности (КЭТ) металлов и ее опытное обоснование. Плотность тока по КЭТ.

3. Вывод закона Ома в дифференциальной форме из электронных представлений.

4. Вывод закона Джоуля-Ленца

В электростатике речь шла о неподвижных электрических зарядах. На практике чаще приходится сталкиваться с движущимися зарядами. Явления (процессы) связанные с движением электрических зарядов изучаются в электродинамике.

Всякое упорядоченное движение электрических зарядов называется электрическим током.

Различают ток проводимости, ток в вакууме, конвекционный ток и ток смещения.

Для появления и существования электрического тока необходимы следующие условия:

1. Наличие в данной среде электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение зарядов;

2. Наличие в среде носителей электрического заряда, способных перемещаться в ней;

3. Электрическая цепь должна быть замкнутой.

Количественной характеристикой электрического тока служит сила тока. Силой тока называется скалярная физическая величина, численно равная количеству электрического заряда, переносимого через рассматриваемую поверхность за одну секунду.

. (1)

Сила тока имеет размерность и единицу измерения (Ампер).

(Следует отметить, что применение термина «сила» к величине, определяемой формулой (1) не является корректным. Более точное определение силе тока 1А будет дано позже.)

Электрический ток также характеризуется направлением. За направление тока принимается направление движения положительных зарядов.

Другой характеристикой электрического тока является плотность тока. Плотностью тока называется векторная физическая величина, совпадающая по направлению с направлением движения положительных зарядов и численно равная силе тока через единицу площади поперечного сечения проводника.

; , (2)

где dI – сила тока через элемент dS поперечного сечения проводника.

При известном значении плотности тока, силу тока в проводнике можно определить следующей формулой

, (3)

где n – нормаль элемента dS.

Постоянным электрическим током называется ток, у которого не изменяются ни величина, ни направление. Опыты показывают, что плотность постоянного тока одинакова по всему поперечному сечению проводника. Поэтому для постоянного тока справедливы формулы

(4) и (5)

2. Классическая электронная теория электропроводности металлов (КЭТ) и ее опытное обоснование. Плотность тока по КЭТ.

Для выяснения природы носителей тока в металлах к началу XX века был проведен ряд опытов. Один из наиболее простых опытов был проведен немецким ученым Рикке К. (1901г.). В этом опыте через последовательно соединенные разнородные металлические (Cu-Al-Cu) проводники пропускался электрический ток в течение года. Количество электрического заряда, прошедшего через проводники за это время, составило Q=3,5∙10 6 Кл. Исследование торцов проводников по окончанию опыта показало, что электрический ток не сопровождается переносом атомов. На основании такого простого опыта был сделан важный вывод о том, что перенос электрического заряда в металлах не связан с переносом вещества и носители электрического тока во всех металлах одинаковы.

В опытах российских ученых Мандельштама Л.И. и Папалекси Н.Д. и американских ученых Толмена Р. и Стюарта Б. был измерен удельный заряд носителей тока. Оказалось, что полученное значение удельного заряда очень близко к значению удельного заряда электрона, которое было измерено ранее. Таким образом, было экспериментально доказано, что носителями электрического тока проводимости в металлах являются свободные электроны.

Немецким ученым Друде П., на основе представлений о свободных электронах, в начале XX века была создана классическая электронная теория электропроводности металлов.

В классической электронной теории электропроводности (КЭТ) металлов электроны проводимости (свободные электроны) рассматриваются как электронный газ, подчиняющийся законам идеального одноатомного газа.

Электроны проводимости, также как атомы газа, описываются законом Максвелла для их распределения по скоростям и энергиям теплового движения. При своем движении электроны сталкиваются с ионами (узлами кристаллической решетки). Поэтому им приписывается средняя длина свободного пробега.

Используя закон равнораспределения энергии по степеням свободы можно оценить среднюю скорость теплового движения электронов

(6) или

Как видим, значение средней скорости достаточно велико. Однако, тепловое движение электронов, вследствие своей хаотичности, не может привести к возникновению электрического тока (упорядоченного движения).

Если к концам проводника приложить разность потенциалов, то свободные электроны приобретут дополнительную скорость υЕ вдоль поля, которая, накладываясь на тепловую скорость, приведет к упорядоченному движению. Т.е. в проводнике возникнет электрический ток.

Получим выражение для плотности тока исходя из представлений об электронном газе. Для этого выделим отрезок проводника с поперечным сечением S и направим вектор напряженности Е электрического поля вдоль проводника. Свободные электроны приобретут некоторую среднюю скорость упорядоченного движения . За время dt площадку S пересекут все электроны, заключенные в объеме цилиндра с образующей · dt.

Если число электронов в единице объема обозначить через n, а заряд электрона e, то за время dt через площадку S пройдет заряд

. (7)

Тогда для плотности тока получим следующую формулу

. (8)

Учитывая, что направление вектора плотности тока совпадает с направлением скорости, запишем формулу (8) в векторной форме

. (9)

Оценка значения средней скорости упорядоченного движения электронов проводимости в меди, при предельно допустимом значении 10 7 А·м 2 плотности тока, дает величину ≈10 -3 м·с -1 . Сравнивая полученное значение со значением средней скорости теплового движения электронов (формула 6) получим, что ≈10 8 · . Т.е. значение средней скорости теплового движения электронов на восемь! порядков превышает значение средней скорости их упорядоченного движения.

Выведем формулу для плотности j тока, возникающего в металле по действием однородного электрического поля с напряженностью Е.

В электрическом поле на электроны будет действовать сила, определяемая формулой F=e·E. Т.е. движение электронов будет равноускоренным, с ускорением

(10).

Для упрощения расчетов положим, что все электроны имеют одно и то же значение средней скорости теплового движения и средней длины свободного пробега .

Положим также, что при каждом столкновении электрона с ионом кристаллической решетки он полностью теряет энергию, приобретенную в электрическом поле, и, после столкновения, начинает движение без начальной скорости. В этом случае график зависимости скорости упорядоченного движения υЕ электрона от времени будет иметь вид, показанный на рисунке.

Тогда к концу свободного пробега скорость упорядоченного движения электрона в среднем будет достигать значения

, (11)

где – среднее время свободного пробега.

Среднее значение времени свободного пробега связано со средними значениями длины свободного пробега и результирующей скорости очевидным соотношением

, (12)

где υрез складывается из скоростей теплового и упорядоченного движения .

В предыдущем вопросе было показано, что υТ>>υE, т.е. . Подставив последнее в формулу (12), а затем в формулу (11) получим для максимальной скорости

. (13)

Так как движение равноускоренное, то средняя скорость равна половине максимальной

, (14)

или =b·E, где (15) называется подвижностью носителей.

Подставив формулу (15) в формулу (8) получим формулу для плотности тока

, (16)

или закона Ома в дифференциальной форме.

В последней формуле произведение величин, стоящих перед величиной Е обозначается символом γ и называется удельной электропроводностью

. (17)

Удельное сопротивление ρ обратно пропорционально удельной электропроводности ρ=1/γ. В формулу (17) входит средняя длина свободного пробега электронов, определяемая их столкновениями с ионами решетки. Следовательно, в классической теории электропроводности наличие электрического сопротивления в металлах объясняется столкновениями свободных электронов с ионами решетки. С ростом температуры увеличивается скорость теплового движения электронов и интенсивность колебаний ионов решетки. Это приводит к уменьшению и увеличению электрического сопротивления. Таким образом, формула (17) дает качественно правильную зависимость электрического сопротивления металлов от температуры.

Учитывая формулу (17) и сонаправленность векторов j и E можно записать более компактно формулу (16) закона Ома в дифференциальной форме

или . (18)

Формула (18) позволяет вычислять плотность тока в точках, в которых известна напряженность электрического поля.

4. Вывод закона Джоуля-Ленца.

В конце свободного пробега каждый электрон передает иону решетки свою энергию, приобретенную в электрическом поле. Это приводит к нагреванию проводника. Среднее значение энергии, передаваемой каждым электроном иону, определяется формулой

или, с учетом формулы (13), . (19)

Умножив энергию, отдаваемую одним электроном (формула 19), на их концентрацию n и среднее число столкновений в единицу времени , получим формулу для удельной тепловой мощности w тока (энергии, выделяющейся в единице объема в единицу времени)

. (20)

Формула (20) позволяет вычислять удельную тепловую мощность тока в точках, в которых известна напряженность электрического поля и называется законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

5. Затруднения классической теории электропроводности металлов.

Классическая теория электропроводности (КЭТ), развитая Друде П., была весьма упрощенной. Например, предполагалось, что все электроны проводимости движутся с одинаковой скоростью. Поэтому ученый Лоренц Г., решив усовершенствовать КЭТ, применил к «электронному газу» закон Максвелла для распределения частиц по скоростям и получил парадоксальный результат. Оказалось, что уточненная КЭТ хуже согласуется с опытом, чем грубая теория Друдэ. Таким образом, классическая теория электропроводности Друдэ-Лоренца столкнулась с весьма существенными затруднениями. Из них основными являются два:

1. Классическая теория электропроводности не смогла объяснить зависимость электрического сопротивления металлов от температуры.

Удельное сопротивление ρ обратно пропорционально электропроводности ρ=1/γ. Из формулы (17) следует, что ρ пропорционально средней скорости теплового движения , которая в свою очередь пропорциональна . Следовательно, при нагревании металлов их электрическое сопротивление теоретически должно возрастать пропорционально (ρ

). Согласно же опыту, при нагревании металлов в широком интервале температур их электрическое сопротивление растет пропорционально температуре в первой степени (ρ

Т). КЭТ также не смогла объяснить открытое в 1911г. явление сверхпроводимости, проявляющееся в исчезновении электрического сопротивления при охлаждении металлов до сверхнизких температур.

2. Классическая теория электропроводности не смогла объяснить теплоемкость металлов.

По КЭТ теплоемкость металлов Смет складывается из теплоемкостей кристаллической решетки Среш и электронного газа Сгаз и, в случае одного моля, должна быть равна

Опыт же показывает, что значение теплоемкости металлов в соответствии с законом Дюлонга и Пти близко к 25 Дж/(моль∙К). Таким образом, обнаружилось неожиданное и непонятое с точки зрения КЭТ отсутствие теплоемкости у электронного газа.

Указанные затруднения КЭТ связаны с тем, что в ней не учитывается такое специфическое свойство электрона, как спин. (Спин – это собственный момент импульса микрочастицы). Спин электрона был открыт позже и был учтен в квантовой теории, которая устраняет все недостатки КЭТ и которая будет рассмотрена позже.

Вопросы для самопроверки:

1. Указать основные представления классической тории электропроводности металлов.

2. Как в КЭТ объясняется наличие электрического сопротивления? От чего зависит значение электрического сопротивления?

3. Вывести формулу закона Ома в дифференциальной форме.

4. Перечислить недостатки классической тории электропроводности металлов.

Закон Ома для однородного участка цепи, все точки которого имеют одинаковую температуру, выражается формулой (в современных обозначениях):

В таком виде формула закона Ома справедлива только для проводников конечной длины, так как входящие в это выражение величины I и U измеряются приборами, включенными на этом участке.

Сопротивление R участка цепи зависит от длины l этого участка, поперечного сечения S и удельного сопротивления проводника ρ . Зависимость сопротивления от материала проводника и его геометрических размеров выражается формулой:

которая справедлива только для проводников постоянного сечения. Для проводников переменного сечения соответствующая формула не будет столь простой. В проводнике переменного сечения сила тока в различных сечениях будет одинаковой, однако плотность тока будет разной не только в различных сечениях, но даже и в различных точках одного и того же сечения. Различное значение будет иметь и напряженность, а, следовательно, и разность потенциалов на концах различных элементарных участков. Усредненные значения I , U и R по всему объему проводника не дают информации об электрических свойствах проводника в каждой его точке.

Для успешного изучения электрических цепей необходимо получить выражение закона Ома в дифференциальной форме с тем, чтобы оно выполнялось в любой точке проводника любой формы и любых размеров.

Зная связь напряженности электрического поля с разностью потенциалов на концах некоторого участка , зависимость сопротивления проводника от его размеров и материала и используя закон Ома для однородного участка цепи в интегральной форме найдем:

Обозначив где σ — удельная электропроводность вещества, из которого сделан проводник, получим:

где — плотность тока. Плотность тока — это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости перемещения положительных зарядов. Полученное выражение в векторной форме будет иметь вид:

Оно выполняется в любой точке проводника, по которому течет электрический ток. Для замкнутой цепи следует учесть тот факт, что в ней, кроме напряженности поля кулоновских сил, действуют сторонние силы, создающие поле сторонних сил, характеризующееся напряженностью Е ст. С учетом этого закон Ома для замкнутой цепи в дифференциальной форме будет иметь вид:

В таком виде закон Ома входит в систему уравнений Максвелла, представляющую собой фундамент классической электродинамики.

Закон Ома для однородного участка цепи

Обязательным условием существования электрического тока является наличие электрического поля, для существования которого, в свою очередь, необходима разность потенциалов (напряжение). Ток будет направлен в сторону уменьшения потенциалов (на рисунке – влево), а свободные электроны будут двигаться в обратную сторону.

На концах участка проводника заданы потенциалы φ_1 и φ_2, причем φ_1>φ_2. Напряжение в таком случае можно найти по формуле:

В 1826 году Георг Ом, обобщив итоги опытов, показавших, что, чем больше напряжение на участке, тем больше сила тока, проходящего через него, получил зависимость, названную законом Ома. В ходе экспериментов Ом выявил, что различные проводники при одинаково заданном напряжении будут проводить ток по-разному, т.е., каждый проводник обладает различной мерой проводимости. Эту величину назвали электрическим сопротивлением.

Определеение Закона Ома для однородного участка цепи гласит: сила тока для однородного проводника на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на этом участке и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

Формула закона Ома для однородного участка цепи

  • I [А] – сила тока,
  • U [В] – напряжение,
  • R [Ом] – электрическое сопротивление.

Сопротивление – главная характеристика проводника. В зависимости от строения проводника, в них существует различное количество узлов кристаллической решетки и атомов примесей, взаимодействуя с которыми электроны замедляются.

Сопротивление будет зависеть от рода и размеров проводника:

где:

  • P — удельное сопротивление проводника (табличная величина, характеризующая способность материала к сопротивлению).
  • l [м] – длина проводника,
  • S [мм2] – площадь поперечного сечения проводника.

Решение задачи по теме Закон Ома для однородного участка цепи

Рассчитать силу тока, проходящую по медному проводу длиной 100 м, площадью поперечного сечения 1 мм2, если к концам провода приложено напряжение 8,5 В.

Методические указания к лабораторной работе №23


Загрузить всю книгу

3.1.3. Законы постоянного тока

1) Закон Ома – это экспериментальный закон, согласно которому сила тока, текущего по проводнику, пропорциональна напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна его сопротивлению.

.

Соотношение (13) иначе называют законом Ома в интегральной форме записи. Это соотношение можно распространить на отдельные участки и всю замкнутую электрическую цепь, учитывая формулы (10), (11), (12) и внутреннее сопротивление источника тока r. При этом получим частные случаи закона Ома:

а) неоднородный участок цепи (рис. 2):

.

Формулу (14) называют обобщённым законом Ома в интегральной форме записи;

б) однородный участок цепи (рис. 3):

;

в) цепь замкнута (рис. 4) :

.

Электрическое сопротивление ( R ) характеризует противодействие проводника электрическому току и зависит от формы, размеров и материала проводника. Измеряется сопротивление R в омах (Ом).

Для однородного цилиндрического проводника длиной l и поперечным сечением S :

,

где ρ – удельное сопротивление проводника. Оно зависит от материала проводника и условий протекания тока, в частности, от температуры. Для большинства металлов при температурах, близких к комнатной, удельное сопротивление изменяется пропорционально температуре T:

,

где ρ0 – удельное сопротивление проводника при 0ºС (T = 273 К). Удельное сопротивление ρ измеряется в ом-метрах (Ом·м).

Закон Ома в дифференциальной форме записи можно получить, если рассмотреть бесконечно малый участок проводника длиной dl и поперечным сечением dS (рис. 5).

Рис. 5. К выводу закона Ома в дифференциальной форме записи (обозначения в тексте)

Сопротивление этого участка:

.

Напряжение на концах проводника dU , совпадающее с разностью потенциалов, связано с напряжённостью E электрического поля соотношением:

.

Через сечение dS течёт ток, плотность которого согласно соотношению (4):

.

Подставляя значения R и U по формулам (19) и (20) в закон Ома (13), получаем:

,

,

или, с учётом соотношения (21),

,

где – удельная проводимость проводника.

Учитывая, что направления и совпадают, соотношение (22) можно записать в векторном виде:

.

Это и есть дифференциальная форма записи закона Ома для однородного участка проводника. На неоднородном участке, кроме электростатического поля с напряжённостью , действует поле сторонних сил, напряжённость которого – стор; в этом случае:

.

Соотношение (24) является законом Ома в дифференциальной форме записи для неоднородного участка проводника.

2) Закон Джоуля-Ленца характеризует тепловое действие тока. При протекании электрического тока проводник нагревается, при этом выделяется количество теплоты Q т, определяемое соотношениями:

.

3) Правила Кирхгофа значительно упрощают расчёт разветвлённых электрических цепей. Пример такой цепи показан на рис. 6.

Рис. 6. Разветвлённая электрическая цепь

Правил Кирхгофа два:

а) I правило Кирхгофа относится к узлам электрической цепи.

Узлом цепи называется точка, в которой сходится не менее трёх проводни­ков. В схеме на рис. 6 два узла – В и К.

Согласно I правилу Кирхгофа алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

Прежде чем применять I правило Кирхгофа, необходимо проставить направления токов и значения сил токов в различных ветвях электрической цепи (ветвь – участок цепи, соединяющий узлы). Если трудно указать истинное направление тока, его проставляют произвольно. Если направление тока на каком-то участке проставлено неверно, то значение силы тока на этом участке в результате решения задачи получается отрицательным. Условились считать, что токи, входящие в узел (текущие к узлу), считаются положительными, и при записи соотношения (26) берутся со знаком «+», а токи, выходящие из узла, – со знаком «–». Например, для узла К соотношение (26) примет вид:

.

I правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда для цепей постоянного электрического тока. В случае постоянного тока заряды в узлах накапливаться не должны, и количество зарядов, входящих в узел, должно равняться количеству зарядов, выходящих из узла. Если в цепи N узлов, то линейно независимых уравнений можно записать только для ( N –1) узла, уравнение для N -ого узла будет следствием предыдущих. Например, уравнение для узла В (рис. 6) будет повторением уравнения (27);

б) II правило Кирхгофа является следствием закона Ома и относится к любому выделенному в разветвлённой цепи замкнутому контуру.

Согласно этому правилу сумма падений напряжений равна сумме действующих в контуре ЭДС:

.

Так как по закону Ома , то соотношение (28) можно записать так:

.

Прежде чем применять II правило Кирхгофа к какому-либо контуру, в нём совершенно произвольно выбирается направление обхода (например, по часовой стрелке). При этом напряжение считается положительным и берётся в уравнении (29) со знаком «+», если ток на данном сопротивлении совпадает с направлением обхода контура. ЭДС источника берётся в уравнении (29) со знаком «+», если источник создаёт ток (при условии, что других источников тока нет) в направлении обхода контура. Например, II правило Кирхгофа для контура АМКВ (рис. 6) будет иметь следующий вид:

.

Видим, что удобнее было бы взять направление обхода контура в противоположную сторону.

Для контура ВКДС соотношение (29) запишется так:

.

Уравнение (29) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в разветвлённой цепи (на рис. 6 их три: АМКВ, ВКДС, АМДС). Однако независимыми будут уравнения только для тех контуров, которые нельзя получить наложением других, уже использованных (например, контур АМДС является суммой контуров АМКВ и ВКДС). Оказывается, что количество независимых уравнений, составленных в соответствии с I и II правилами Кирхгофа, равно числу различных токов, текущих в разветвлённой электрической цепи. Решая совместно уравнения (27), (30), (31), можно найти любые три неизвестные характеристики электрической цепи, показанной на рис. 6.

Закон ома в дифференциальной форме для однородного

Пусть по проводнику длиной l и сечением S течет ток I. В проводнике создается электрическое поле напряженности E, а 1 и 2 – потенциалы на концах проводника. В случае однородного проводника величину 1 2 = U можно назвать падением напряжения на участке проводника.

Закон Ома: сила тока, текущего по однородному участку проводника, прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

— закон Ома в интегральной форме

где R – электрическое сопротивление проводника.

Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток 1А.

Сопротивление зависит от геометрических размеров и формы проводников, материала и температуры проводников. Для цилиндрического проводника

где — удельное сопротивление проводника.

Удельное сопротивление численно равно сопротивлению проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м 2 . Размерность удельного сопротивления в СИ: [] = Омм.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью:

Учитывая выше написанные уравнения, а также , получим:

– закон Ома в дифференциальной форме.

3.2.3. Сторонние силы. Закон Ома для цепи, содержащей эдс

Для возникновения и существования электрического тока необходимо:

наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно;

наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться.

Соединим проводником два тела с зарядами +q и q. Кулоновские силы заставляют электроны перемещаться по проводнику. Возникнет ток. Однако тела при этом будут разряжаться, разность потенциалов уменьшится, ток быстро прекратится.

Т.е. если в цепи действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек цепи выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Следовательно, поле кулоновских сил не может являться причиной постоянного электрического тока.

Ток в проводнике нейтрализует заряды на его концах. Для поддержания постоянного тока необходимо поддерживать постоянную разность потенциалов, следовательно, разделять заряды. Электрические силы разделять заряды не могут.

Силы, разделяющие заряды, имеют неэлектрическую природу и называются сторонними силами.

Устройство, в котором действуют сторонние силы, называется источником тока.

Сторонние силы заставляют заряды двигаться внутри источника тока против сил поля. Благодаря этому в цепи поддерживается постоянная разность потенциалов.

Перемещая заряды, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затраченной в источнике тока. Например, в электрофорной машине разделение зарядов происходит за счет механической работы, в гальваническом элементе – за счет энергии химических реакций и т.д.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС).

Обозначим — вектор напряженности поля сторонних сил.

Результирующее поле, действующее на заряды в проводнике, в общем случае

Плотность тока в цепи

.

– закон Ома в дифференциальной форме для цепи, содержащей ЭДС.

Рассмотрим участок AB замкнутой цепи, содержащей ЭДС (рис.3.18). Выделим мысленно малый элемент dl.

Плотность тока на этом участке опишется уравнением . Умножим скалярно обе части этого равенства наи проинтегрируем по участкуAB:

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

Разность потенциалов численно равна работе кулоновских сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

ЭДС, действующая на участке цепи, численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B;

С учетом выше сказанного можно получить:

— закон Ома для участка цепи с ЭДС.

если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то получаем закон Ома для однородного участка цепи:

если цепь замкнута (=0), то получим закон Ома для замкнутой цепи:

где — ЭДС, действующая в цепи, R – суммарное сопротивление всей цепи, rвнутр – внутреннее сопротивление источника тока, Rвнеш – сопротивление внешней цепи;

если цепь разомкнута, то I = 0 и 12 = 2 1, т.е. ЭДС, действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи Rвнеш = 0 и сила тока в этом случае ограничивается только величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Падение напряжения на участке AB численно равно работе кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из т.A в т.B.

2.3. Законы Ома в интегральной форме

Закон Ома в интегральной форме подразумевает, что рассматривается полный ток, протекающий в цепи и величина тока со временем не меняется. Очевидно, что количество заряда, протекающее по проводнику, обратно пропорционально сопротивлению проводника. Количество заряда протекающее в проводнике, прямо пропорционально напряженности или разности потенциалов, создающих внешнее электрическое поле.

1) — закон Ома для участка цепи, не содержащего э.д.с.

Суммарное сопротивление проводников и элементов цепи без э.д.с. обозначается на схеме.

2) Если участок цепи включает в себя э.д.с, то собственное сопротивление источника тока выделяется и обозначается r.

Тогда закон Ома для участка цепи, содержащей э.д.с., будет иметь вид:

.

3) Если замкнутый участок цепи, содержит э.д.с., тогда φ1 = φ2, и получаем:

— закон Ома для замкнутого участка цепи, содержащего э.д.с.

В целом участок цепи, содержащей множество э.д.с. и разных деталей представлен законом Ома в виде:

.

Если при напряжении на концах участка цепи в 1В по цепи протекает ток в 1А, то говорят, что сопротивление цепи равно одному Ому.

Из закона Ома следует:

.

2.3.1. Закон Ома в дифференциальной форме

Сечение проводника или элементов цепи, как правило, неоднородно, и сопротивляемость в разных участках цепи протеканию тока также различная. Тогда разбивают участки цепи на элементы (дифференцируют) и определяют закон Ома в каждом отдельном участке.

— закон Ома, тогда для каждого участка цепи сечением ∆ S и длиной ∆ l можно записать закон Ома как:
.

Учитывая, что для участка цепи

и , получим .

Это закон Ома в дифференциальной форме. Зная, что удельная электропроводность σ и удельное сопротивление ρ связаны, как:

,
где

σ — удельная электропроводность,

ρ — удельная сопротивление,

— закон Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС):

Для однородного линейного проводника выразим R через р:

где р — удельное объемное сопротивление; [р] = [Ом м].

Найдем связь между j и Е в бесконечно малом объеме проводника — это закон Ома в дифференциальной форме.

Исходя из закона Ома (1.7.13), имеем

Известно, что , или Отсюда можно записать:

это закон Ома в дифференциальной форме.

Здесь удельная электропроводность; [а] = [Ом -1 • м -1 ].

Плотность тока можно выразить через заряд электрона е, количество зарядов п и дрейфовую скорость о:

Пусть Ь = )/Ё, тогда ) = ЬЁ и плотность тока j = епЬЁ.

Если удельную электропроводность о выразить через е, п и b (а = enb), то вновь получим выражение закона Ома в дифференциальной форме: j = оЁ.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца

Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд dq = Idt. При этом работа силы электрического поля на данном участке

Удельная мощность тока w = ANV = jE.

Используя закон Ома в дифференциальной форме (1.7.14), получаем закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, который характеризует плотность выделенной энергии:

Так как выделенная теплота равна работе сил электрического поля А = IUt, то можно записать для мощности тока:

Мощность, выделенная в единице объема проводника, w = ру’ 2 .

Приведенные формулы справедливы для однородного участка цепи и для неоднородного.

Определим коэффициент полезного действия (КПД) источника тока — Г|. Рассмотрим элементарную электрическую цепь, содержащую источник ЭДС с внутренним сопротивлением г, и внешним сопротивлением R (рис. 1.7.6). КПД определяем как отношение полезной работы к затраченной:

Полезная работа — мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении Rв единицу времени.

По закону Ома имеем: , тогда

Как видно из рис. 1.7.7, максимальный КПД будет в данной цепи при уменьшении мощности.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей. Расчет разветвленных цепей с помощью закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил немецкого физика Г. Кирхгофа (1824-1887).

Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи, равна нулю:

В случае установившегося постоянного тока в цепи ни в одной точке проводника, ни на одном из его участков не должны накапливаться электрические заряды. Узел — любой участок цепи, где сходятся более двух проводников (рис. 1.7.8). Токи, сходящиеся к узлу, считают положительными:

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда (ЗСЭ).

Второе правило Кирхгофа — это обобщение закона Ома для разветвленной цепи и следствием ЗСЭ.

Для произвольного замкнутого контура с произвольным числом разветвлений (рис. 1.7.9) можно записать для каждого элемента контура:

Складывая эти уравнения, получаем второе правило Кирхгофа:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма произведения тока на сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре.

Обход контуров осуществляется по часовой стрелке, если направление обхода совпадает с направлением тока, то ток берется со знаком «плюс».

Смотрите так же:

  • Решение думы г иркутска о земельном налоге Действующее федеральное законодательство 2010 г. Документы принятые в 2010 году 1996 г. и ранее Документы принятые в 1996 году и до 1996 года Действующие законодательные акты РФ 2008 г. Документы принятые в 2008 году 2006 г. Документы принятые в 2006 […]
  • Значение системы наказаний уголовное право § 1. Понятие и значение системы наказаний Зафиксированная в новом УК РФ система наказаний отражает основные принципы современного уголовного права, в первую очередь принципы законности, справедливости и гуманизма, а также основные тенденции противостояния […]
  • Резюме юриста из краснодара Образование 2005г. Краснодарская Академия МВД России Опыт работы Опыт работы: более 5 лет Подробнее об опыте работы: Главный специалист Отдела организационно-правовой работы ФБУ "ЦЛАТИ по ЮФО", полная занятость Юридическое сопровождение учреждения, […]
  • Чернобыль изменение в законе Очередные изменения в наш закон В Государственную Думу поступил проект федерального закона № 115547-7 «О внесении изменений в статью 4 Закона Российской Федерации «О социальной защите граждан, подвергшихся воздействию радиации вследствие катастрофы на […]
  • Приказы на аттестацию педработников Аттестация учителей в 2019 году Одним из ведущих направлений в 2018-2019 годах для Правительства РФ является реформирование системы образования, целью которого является повышение социального статуса учителя, престижности профессии и общего уровня […]
  • Заявление на возобновление исполнительного производства по алиментам Заявление о возобновлении исполнительного производства по алиментам У взыскателей алиментов часто возникают вопросы в связи с прекращением или приостановлением принудительного выполнения должностными лицами Службы судебных приставов (ССП) судебного акта о […]
  • Нотариус с выездом на дом ювао Вызов нотариуса на дом Услуга выезда нотариуса на домашний адрес клиента стала сегодня обычной процедурой. Вызов нотариуса часто требуется для совершения таких юридических процедур, как оформление доверенностей (на продажу собственности, покупку […]
  • Возврат товара изготовленного на заказ Как осуществить возврат товара, изготовленного под заказ? Добрый день, знатоки! У меня магазин. Привожу под заказ из Москвы керамическую плитку в свой город. Покупатели постоянно пытаются вернуть остатки плитки после ремонта. Т.е. налицо возврат ЧАСТИ […]